Равномерная непрерывность функций.

Определение. Функция f(x), определенная на промежутке Х, называется равномерно непрерывной на промежутке Х, если

>0 δ=δ() x₁,х₂: |x₁-x₂|<δ |f(х₁)-f(x₂)|<

Примеры. 1) f(x)=x, x(-;+)

Т.к. |f(х₁)- f(x₂)=х₁-х₂, то

>0 δ=δ() x₁,х₂: |x₁-x₂|<δ=|f(х₁)-f(x₂)|<

2) f(x)=sin х, x(-;+)

Выше показали, что |sin x₁-sin x₂||x₁-x₂|

3) f(x)=х², x[-1,1]

|f(х₁)- f(x₂)=х₁-х₂х₁+х₂2х₁-х₂

>0 δ= x₁,х₂: |x₁-x₂|<δ=|f(х₁)-f(x₂)|2х₁-х₂<

4) f(x)=х², x(-;+) – не является равномерно непрерывной.

Отрицание равномерной непрерывности:

Тогда, пусть , , -→0, n→

5) f(x)= не является равномерно непрерывной на промежутке (0,1].

Возьмем х₁=, х₂=. Тогда

Теорема Кантора. Если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], то она и равномерно непрерывна на этом отрезке.

Доказательство. Допустим противное, т.е. функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], но неравномерно непрерывна на нем, т.е.

Это означает, что найдется хотя бы одно ₀>0, которому не отвечает никакое >0 в смысле определения равномерной непрерывности

В этом случае, какое бы число >0 ни взять, найдутся в промежутке [a,b] такие два значения х и х, что

Возьмем последовательность положительных чисел такую, что {_n}→0, n→.

Тогда

Последовательность {x_n} – ограничена (т.к. ее значения находятся внутри отрезка). По лемме Больцано-Вейерштрасса, из ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность , k, [a,b].

Т.к. (т.к. , а _n→0, n→), то и последовательность , k.

Рассмотрим разность f()-f(). Т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она непрерывна и в точке , т.е. f()-f()→f()-f()=0, k.

Получили противоречие с условием , следовательно, допущение неверно и функция равномерно непрерывна. Ч.т.д.

Непрерывность и разрывы монотонной функции.

Пусть функция f(x) определена и монотонна на промежутке Х.

Теорема 1. Монотонная функция может иметь в Х точки разрыва только 1-го рода.

Доказательство. Пусть функция f(x) возрастает и с – точка разрыва (c – не является левым концом промежутка Х). Слева от с функция f(x) возрастает, следовательно f(x)f(с) х>c.(Картинка).

Т.о. монотонная функция f(x) является ограниченной (числом f(с)) По теореме о пределе монотонной функции, f(x) имеет конечный предел слева:

f(с-0)=f(с)

Если f(с-0)=f(с), то слева в точке с функция f(x) непрерывна. В противном случае – с – точка разрыва 1-го рода.

Аналогично доказывается, что в каждой точке с промежутка Х, не являющейся его правым концом, справа тоже либо имеет место непрерывность, либо разрыв 1-го рода.

Существование и непрерывность обратной функции.

Определение. Пусть функция f:A→B.

1) Если х₁≠х₂ f(x₁)≠f(x₂), то отображение f называется инъекцией.

2) Если f(A)=B или такое, что y=f(x), то отображение f действует на В (отображение «на»).Такое отображение также называется сюръекцией.

Отображение f которое одновременно является инъекцией и сюръекцией, называется биекцией или взаимно однозначным соответствием между А и В.

Можно определить новую функцию: f^-1:B→A, x=f^-1(y)–обратная функция, относительно f.

Теорема (б.д.).

Пусть функция у=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и является на нем строго возрастающей. Тогда у функции у=f(x) есть обратная функция х=g(y), определенная на отрезке [p,q], где p=f(a), q=f(b), причем эта функция строго возрастающая и непрерывная в промежутке [p,q].

Замечание 1. Аналогичная теорема имеет место для строго убывающих функций:

Пусть функция у=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и является на нем строго убывающей. Тогда у функции у=f(x) есть обратная функция х=g(y), определенная на отрезке [p,q], где p=f(b), q=f(а), причем эта функция строго убывающая и непрерывная в промежутке [p,q].

Замечание 2. Справедливы также следующие утверждения.

Утверждение 1.

Пусть функция у=f(x) определена и непрерывна в промежутке (a,b) и является на нем строго возрастающей. Тогда у функции у=f(x) есть обратная функция х=g(y), определенная в промежутке (p,q), где p=, q=, причем эта функция строго возрастающая и непрерывная в промежутке (p,q)

Утверждение 2.

Пусть функция у=f(x) определена и непрерывна в промежутке (a,b) и является на нем строго убывающей. Тогда у функции у=f(x) есть обратная функция х=g(y), определенная в промежутке (p,q), где p=, q=, причем эта функция строго убывающая и непрерывная в промежутке (p,q).

Замечание 3. Некоторые из чисел a,b,p,q могут быть несобственными.

Непрерывность элементарных функций (продолжение).

1. y=arcsin x

Рассмотрим функцию x=sin y. Эта функция определена и непрерывна на всей осей, а на промежутке она ещё и строго возрастающая. Значит, рассматривая ее для у, можно применить к ней теорему для обратной функции. По теореме об обратной функции, функция y=arcsin x будет определена на промежутке [-1;1] и будет строго возрастающей и непрерывной на этом промежутке. (График)

2. y=arcсоs x

Рассмотрим функцию x=соs y. Эта функция определена и непрерывна на всей осей, а на промежутке [0;] она ещё и строго убывающая. Значит, рассматривая ее для у[0;], можно применить к ней теорему для обратной функции. По теореме об обратной функции, функция y=arccos x будет определена на промежутке [-1;1] и будет строго убывающей и непрерывной на этом промежутке.

3. y=arctg x

Рассмотрим функцию x=tg y. Эта функция определена на промежутке , строго возрастает и непрерывна. Имеем , .

Рассматривая функцию x=tg y для у, приходим к выводу, что функция y=arctg x определена, непрерывна и строго возрастает на промежутке (-,+).

4. y=arcсtg x

Рассмотрим функцию x=сtg y. Эта функция определена на промежутке (0,), строго убывает и непрерывна. Имеем , .

Рассматривая функцию x=сtg y для у(0,), приходим к выводу, что функция y=arсctg x определена, непрерывна и строго убывает на промежутке (-,+).

5. Логарифмическая функция (a>0, a≠0)

Функция является обратной для показательной функции х=а^у, у(-,+).

а) Пусть а>1. В этом случае функция х=а^у – строго возрастающая и непрерывная на промежутке (-,+). Имеем , .

Следовательно, если a>1, то функция определена, непрерывна и строго возрастает в промежутке (0,+).

б) Пусть 0<а<1. В этом случае функция х=а^у – строго убывающая и непрерывная на промежутке (-,+).

Имеем , .

Следовательно, если 0<а<1, то функция определена, непрерывна и строго убывает в промежутке (0,+).

6. Общая степенная функция у=х^r, где r – любое вещественное число (rR).

В качестве определения общей степенной функции у=х^r при любом вещественном r и х(0,+) принимаем выражение: y=x^r=e^{r ln x}, х(0,+).

Имеем y=e^u, где u=r ln x r. Видим, что функция у=х^r, х(0,+), где r – любое вещественное число, будет непрерывна на промежутке (0,+) как суперпозиция непрерывных функций.