Свойства пределов.

1. ++(+)=+

-+(-)=-

2. ++=+

-(-)=+

А=

0=0

3. =0 =0 (А≠0)

[], [], [∞-∞], [1^∞] - неопределенности

Предел композиции функции.

Теорема. Пусть даны функции f и φ: , х₀ – предельная точка множества Х, u₀– предельная точка множества U. Если выполнено условие:

1) =u₀ (φ(х)≠х₀)

2) =А,

То =А (х₀ и u₀ могут совпадать с )

Доказательство. Возьмем произвольную последовательность {x_n}, x_nX, x_n≠x₀.

x_n→x₀,n→. Покажем, что f(φ(x_n))→A, n→.

Т.к. x_n→x₀,n→, φ(х)→ u₀, х→х₀, то φ(х_n)→u₀, n→.

Т.к. f(u)→A, u→u₀, то возьмем последовательность u_n=φ(х_n)→u₀, n→, т.е.

f(u_n)=f(φ(x_n))→A, n→. А это и означает, что =А ч.т.д.

Первый замечательный предел.

=1 (1)

Доказательство. Т.к. , то =, если эти пределы существуют. Поэтому достаточно установить и показать, что равен 1 хотя бы один односторонний предел. Покажем, что =1 (2). Поэтому можно рассматривать лишь значения х: 0<x<.

Рассмотрим круг с центром в точке О и радиусом R. Пусть ОВ подвижный радиус, образующий с осью Ох угол х (0<x<).

Площадь ∆АОВ меньше площади сектора АОВ, которая меньше площади прямоугольного ∆АОС.

S_∆AOB<S_{сек. АОВ}<S_∆AOC

S_∆AOB=ОА∙ОВ∙sin x=R∙R∙sin x=R²∙sin x

S_{сек. АОВ}=R²∙x, (площадь кругового сектора, ограниченного дугой с градусной мерой : S=)

S_∆AOC=AO∙OC=AO∙AС∙tg x=R²∙tg x.

Получаем R²∙sin x<R²∙x<R²∙tg x

Делим полученное неравенство на r2, получаем:

sin x<x<tg x (х) (3)

Делим полученное неравенство на sin x (sin x>0), получаем:

1<< или cos x<<1

Вычитая из 1 каждый из членов последнего неравенства, получим

0<1-<1-cos x (4)

Но 1-cos x=2sin²<2sin<x (в силу (3))

Следовательно, вместо неравенства (4) будем иметь: 0<1-<х (5)

Возьмем >0 любое, сколь угодно малое (можно считать, что <). Если положить = (>0), то х, удовлетворяющих неравенству 0<x<, будет

0<1-<

Т.к. если x<, то x<. Значит, <<, если 0<x<.

Последнее означает, что 1=. Соотношение (2) установлено, а значит доказано и (1) ч.т.д.

(Эти неравенства верны и при –<x<0, т.к. функции cos²x и четные).

Покажем, что

cos²x=1-sin²x. Покажем, что при 0<x< <1, тогда

<1sin x<x

Возьмем >0, =. 0<x<sin x<x<=. Т.е.

Тогда =1-0=1

Переходим к пределу при х→0: cos²x→1, 1→1 при х→0.

Следовательно, по теореме о пределе промежуточной функции, получим =1. Ч.т.д.

Пример. =2 (заменой (т.е. через сложную функцию) и без).

Второй замечательный предел.

=е (1) (неопределенность 1^)

Число е (число Эйлера) - иррационально.

1) Докажем, что если =+, то =е.

а) Рассмотрим случай, когда все значения переменной х_m являются целыми положительными числами. Возьмем >0 – любое, сколь угодно малое.

Было доказано, что =е. Значит, взятому >0 отвечает номер Nтакой, что для всех n>N<.

По условию =+, поэтому МN: m>Mx_m>N. По предположению все значения переменной x_m – натуральные числа. Поэтому m>M<.

А это означает, что =е. (В рассмотренном случае переменная x_m не обязательно монотонно возрастающая).

б) Пусть значения переменной x_m положительные числа, не обязательно целые, > 2.

Пусть _m – наибольшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству _mx_m. Тогда _m2 и _m+ при x_m+. Имеем

_m-1<x_m<_m+1>>1+>1+>1+

Тогда >>(*)

Имеем ==е1=е.

Тогда из (*) по теореме о пределе промежуточной последовательности, =е.

2) Покажем, что =е. Воспользуемся определением предела функции по Гейне.

Составим последовательность х₁,…,х_n - любую, но такую, чтобы x_n>2 и x_n+, n.

Соответствующая последовательность значений функции будет такой:

=. Было показано, что =е.

Т.к. {x_n} – любая последовательность, удовлетворяющая условиям x_n>2 и x_n+, n, то в соответствии с определением предела функции по Гейне, =е.

3) Покажем, что =е.

Составим последовательность х₁,х₂,…,х_n - любую, но такую, чтобы x_n<-3 и x_n-, n. Если положить x_n=-1-y_n, то y_n+, n (и все y_n>2). Имеем

====

Т.к. =е, а =1, то ==е.

Т.к. {x_n} – любая последовательность, удовлетворяющая условиям x_n<-3 и x_n-, n, то в соответствии с определением предела функции по Гейне, =е.

Сделав в замену переменной х на . Получим функцию .

Составим последовательность {_n} - любую, но такую, чтобы _n>0 и _n0, n. Тогда x_n=+, n и, следовательно ==e

Это значит, что =e.

Составим последовательность {_n} - любую, но такую, чтобы _n<0 и _n0, n. Тогда x_n=-, n и, следовательно ==e

Это значит, что =e.

Т.к. правый и левый пределы функции в точке =0 существуют и равны е, то у этой функции существует обычный (двусторонний) предел и он равен е.

Т.о. =е. ч.т.д.

График функции у=е^х – экспонента. Пример. =е²¹