Предел функции в точке.
Пусть дана функция f(х) с областью определения Х.
Определение 1. (по Коши). Число А называется пределом функции f(x) при х→х0, если для любого сколь угодно малого числа >0 можно указать такое число δ>0 (зависящее от , δ=δ()), что для всех хХ таких, что 0<|x-x0|<δ выполняется неравенство |f(х)-A|<.
Т.е.
>0
δ=δ(E)
x:
0<|x-x0|<δ
|f(х)-A|< (1)
,
f(x)→A,
x→x0
Замечание. 1) Неравенство (1) не поверяется при х=х0.
2) Принципиальны лишь малые и .
Пример.
1) f(x)=
.
Покажем, что
>0
δ=δ(E)
x:
0<|x|<δ
|
|<
|
|=|2х|
|2х|=2х<
=
,
тогда
>0
δ=
x:
0<|x|<δ
|
|<2х<
Геометрический смысл.
Неравенство |x-x0|<δ равносильно неравенству х0-δ<x<x0+δ
Неравенство |f(х)-A|<E равносильно неравенству A-E<f(x)<A+E
Т.Е. Для всех значений х, попадающих в дельта-окрестность точки х0, соответствующие значения функции попадают в е-окрестность величины а.
Получаем топологическое определение 2. Число А называется пределом функции f(x) при х→х0, если для любого сколь угодно малого числа Е>0 найдется такое число δ>0 (зависящее от Е, δ=δ(Е)), что для всех х, попадающих в дельта-окрестность точки х0, соответствующие значения функции попадают в Е-окрестность величины А.
W(A)
V(x0):
x
V(x0)\{x0}
f(х)
W(A) (3)
Предела
функции в точке х0
не существует. Существуют односторонние
пределы.
Принципиальное значение имеют малые окрестности.
Определение
3. (по Гейне). Число
А называется пределом функции f(x) при
х→х0
(в точке х0),
если для любой последовательности {xn},
сходящейся к х0
(xn≠x0
n),
последовательность {f(xn)}
соответствующих значений функции
сходится к А.
Теорема (определение по Гейне, в терминах последовательности). Определения 1 и 3 равносильны, т.е.
Для
того, чтобы число А было пределом функции
f
при х→х0
необходимо и достаточно, чтобы для любой
последовательности {xn},
сходящейся к х0
(xn≠x0
n)
при n→,
последовательность
{f(xn)}
соответствующих значений функции
сходится к А.
Доказательство.
Необходимость.
Пусть
.
Показать,
что
{xn},
сходящейся к х0,
последовательность f(xn)→n,
n→.
Т.к.
,
то
>0
δ=δ(E)
x:
0<|x-x0|<δ
|f(х)-A|<
хn→x0,
то
для
N:
n>N
|хn-x0|<,
тогда
|f(хn)-A|<
n>N,
т.е.
f(xn)→А.
Достаточность.
Дано
{xn},xn→х0,f(xn)→n,
n→.
Показать, что
.
Допустим противное, что число А не является пределом функции f(x) при х→х0.
Т.е.
Возьмем
n=
,
тогда
Получим,
,
то
не
стремиться к А при n→.
Получили противоречие. Следовательно,
ч.т.д.
Свойства пределов функции в точке.
Теорема 1. Если функция f(x) имеет предел при х→х0 , то этот предел определяется единственным образом.
Доказательство. Допустим противное, f(x) имеет 2 предела А≠В при х→х0.
Выберем
последовательность {xn}→х0
(xn≠x0
n),
тогда f(xn)→А
и f(xn)→В,
следовательно А=В (т.к. предел
последовательности единственный).
Ч.т.д.
Теорема 2. Если функция f(x) имеет предел при х→х0, то на некоторой окрестности V(x0) точки х0 функция f(x) ограничена, т.е. существует число
С>0:
Доказательство.
Пусть
,
тогда существует такая окрестность
V(x0)
точки х0
такой, что 1>f(x)-Af(x)-А,
т.е. f(x)1+А.
Возьмем С=1+А. ч.т.д.