2.3.2. Степенные средние.

К степенным средним относятся: арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая, кубическая и др. Общая формула степенной средней имеет следующий вид:

, (2.6)

где - варианта усредняемого признака,

– показатель степени,

– число вариант (или объём выборки).

При получается средняя гармоническая величина:

. (2.7)

Если получаем среднюю арифметическую величину, при среднюю квадратическую и т.д.

Средняя геометрическая величина – это предел при

(2.8)

Пример 2.7. Найдем средние величины размера обуви пяти человек Размер обуви 2 3 4 Частота 1 2 2

Выполняются следующие неравенства:

Глава 3. Показатели вариации.

3.1. Абсолютные и относительные показатели.

Каждый ряд распределения характеризуется рассеиванием индивидуальных значений признака, т.е. значительным или незначительным несовпадением уровней своих значений. Для измерения рассеяния (вариации) признака применяются абсолютные и относительные показатели вариации.

К абсолютным показателям вариации относится размах вариации – это разность между максимальным и минимальным значениями признака в совокупности:

. (3.1)

Размах вариации показывает лишь крайние отклонения признака и не отражает отклонений всех вариантов значений признака.

Для измерения среднего по совокупности отклонения значения признака от его среднего уровня используют среднее квадратическое (стандартное) отклонение или его квадрат, являющийся дисперсией . Их выборочные оценки будем обозначать и .

, (3.2)

Дисперсия (и как корень квадратный – среднее квадратическое отклонение) может вычисляться с помощью более простой формулы:

. (3.3)

Для сравнения изменчивости различных признаков вычисляется относительный показатель – коэффициент вариации

. (3.4)

Коэффициент вариации является характеристикой однородности совокупности. Так совокупность считается качественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 %.

Пример 3.1. Имеются данные измерений роста шести человек 1 2 3 4 5 6 Рост (см) 185 165 160 190 170 180 Определить показатели вариации. ; ; ; .

3.2. Виды дисперсий и правило сложения дисперсий.

Для определения степени зависимости вариации признака от некоторого фактора, всю статистическую совокупность делят на группы по числу уровней этого фактора. Влияние фактора можно оценить сравнивая межгрупповую (факторную) и внутригрупповую (остаточную) вариации признака. Соответственно рассматривают дисперсии: общую , факторную и остаточную .

Справедливо следующее статистическое тождество (правило сложения дисперсий):

. (3.5)

Пусть исходная совокупность делится на однородных групп по одному фактору (т.е. фактор с уровнями), в каждой по элементов:

Номер испытания,	Уровни фактора,
	1	2	...
1 2			… … ...
Групповые средние			…

Сначала находятся частных средних в каждой группе:

. (3.6)

Далее, определяется общая средняя как средняя арифметическая этих частных средних:

. (3.7)

Тогда общая дисперсия, отражающая вариацию признака за счет всех факторов, действующих в данной совокупности, рассчитывается по формуле

, (3.8)

где – число наблюдений .

Факторная дисперсия характеризует вариацию за счет признака-фактора, положенного в основу группировки, и равна:

. (3.9)

Остаточная дисперсия характеризует вариацию признака, не связанную с делением совокупности на группы, и вычисляется по формуле:

. (3.10)

Соотношение факторной и общей дисперсии называется коэффициентом детерминации и показывает, какая доля в общей дисперсии приходится на дисперсию, обусловленную вариацией признака, положенного в основу группировки:

. (3.11)

Для проверки гипотезы о влиянии фактора используется критерий Фишера:

, (3.12)

где и − число степеней свободы для сравниваемых дисперсий.

Чем больше влияние факторного (группировочного) признака на результативный, тем больше значение .

Расчетное значение сравнивается с критическим , определяемым по таблице в зависимости от числа степеней свободы и уровня значимости . Если , то факторный признак оказывает влияние на исследуемый признак. Если , то только с вероятностью не выше чем случайные значения величины будут превышать расчетное значение. Следовательно, с малой вероятностью факторный признак будет оказывать влияние на результативный признак и это влияние можно не учитывать.

Пример 3.2. Банк имеет по четыре отделения в трех городах. Текущие объемы денежных вкладов (в условных единицах) представлены в таблице: Отделение Город 1 2 3 1 38 20 21 2 36 24 22 3 35 26 31 4 31 30 34  Можно ли утверждать на уровне значимости , что в среднем дела идут одинаково хорошо во всех трех городах? Вычисляем групповые средние и общее среднее . Межгрупповая (факторная) дисперсия (3.9): ; Групповая (остаточная) дисперсия (3.10): Вариация, обусловленная влиянием всех факторов, вместе взятых, определится общей дисперсией (3.5): . Полученный коэффициент детерминации (3.11): показывает, что дисперсия зависит от места расположения отделений на 52,3%; остальные же 47,7 % объясняются множеством других неучтенных факторов. Для проверки гипотезы о влиянии фактора используем критерий Фишера (3.12): Для . Следовательно, и различия значимы.