4.2. Оценка математического ожидания (средней величины).

Пусть распределение значений количественного признака в большой выборке () известно и записано в табличной форме:

Значение,	Частота,
…	…
Итого

Выборочные среднее и дисперсия рассчитываются по формулам:

(4.1)

(4.2)

Величины и являются оценками параметров генеральной совокупности: математического ожидания и дисперсии . Оценка является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Величина является центрированной (математическое ожидание равно нулю) и нормированной (дисперсия равна 1), поэтому для нахождения квантилей распределения можно использовать таблицы функции распределения стандартного нормального распределения.

Истинное значение параметра можно оценить при помощи доверительного интервала, который его включает

, (4.3)

где доверительная вероятность (надежность оценки), а

уровень значимости, то есть вероятность ошибки.

Величина предельной ошибки равна:

• повторная выборка

, (4.4)

• бесповторная выборка

. (4.5)

Если объем генеральной совокупности существенно больше объема выборки, либо неизвестен, то пользуются формулой (4.4).

Средние ошибки выборки находят по формулам

и . (4.6)

Интервал может быть двусторонним, либо односторонним.

Пример 4.1. Произведены измерения признака, распределенного на элементах генеральной совокупности неизвестного объема. Результаты измерений и вычислений приведены в таблице. № п/п 1 6 5 30 1,98 3,92 19,6 2 7 10 0 0,98 0,96 9,6 3 8 20 160 0,02 0,0004 0,008 4 9 11 99 1,02 1,04 11,44 5 10 4 40 2,02 4,08 16,32 Итого 50 399 56,968 Точечные оценки находим по формулам (4.1) и (4.2). ; ; . правосторонний интервал, . По таблице нормального распределения (Приложение 1) находим . По формуле (4.4) найдем . Следовательно, с вероятностью 0,95 . левосторонний интервал, . Проводим те же вычисления и находим: с вероятностью 0,95 . двусторонний интервал, . Так как интервал двусторонний, квантиль распределения находим для : . По формуле (4.4) найдем . Вычисляем левую и правую границы интервала: ; . Получили: с вероятностью 0,95 .

Если объем выборки небольшой , то методика расчета доверительных интервалов немного изменяется. Для сгруппированных данных выборочное среднее определяем, как и ранее (4.1), а дисперсию по формуле:

. (4.7)

Для не сгруппированных данных используем формулы:

(4.8)

. (4.9)

Величина описывается стандартным распределением Стьюдента с степенями свободы, поэтому для нахождения квантилей распределения используют таблицы распределения (Приложение 2).

Предельная ошибка для повторной выборки будет равна

. (4.10)

Пример 4.2. Произведены измерения признака, распределенного на элементах генеральной совокупности неизвестного объема. Результаты измерений и вычислений приведены в таблице. По формулам (4.1) и (4.7) получаем точечные оценки. № п/п 1 6 1 6 1,9 3,61 3,61 2 7 3 21 0,9 0,81 2,43 3 8 3 24 0,1 0,01 0,03 4 9 2 18 1,1 1,21 2,42 5 10 1 10 2,1 4,41 4,41 Итого 10 79 12,9 ; ; . правосторонний интервал, . По таблице распределения (Приложение 2) для односторонней критической области и числа степеней свободы находим . По формуле (4.10) найдем . Следовательно, с вероятностью 0,95 . левосторонний интервал, . Находим: с вероятностью 0,95 . двусторонний интервал, . Для двусторонней критической области, квантиль распределения . По формуле (4.10) найдем . Вычисляем левую и правую границы интервала: ; . Получили: с вероятностью 0,95 .

Если задана предельная ошибка и доверительная вероятность, из формул (4.4) и (4.10) можно найти необходимое количество измерений (объем выборки). Например, из (4.4) при заданных находим:

(4.11)

Пример 4.3. В условиях Примера 4.1 определить необходимое число измерений, если и . Из таблиц (Приложение 1) для двустороннего интервала находим . По формуле (4.11) получаем ; то есть .