4. Применение преобразования Лапласа при расчете переходных процессов

   1. Преобразование Лапласа

Спектральный метод анализа позволяет уяснить физические процессы в цепях и в ряде случаев сравнительно прост. Но в некоторых случаях вычисление интеграла Фурье оказывается затруднительным. Кроме того, спектральный метод не является универсальным. Действительно, преобразование Фурье применимо лишь к абсолютно интегрируемым функциям, т.е. удовлетворяющим условию

. (4.1)

Возникают затруднения и при использовании обычного вида этого метода для решения задач, в которых начальные условия отличны от нуля, т.е. когда цель имеет начальный запас энергии.

Спектральный метод становится более универсальными нахождение обратного преобразования Фурье облегчается, если интеграл Фурье распространить на комплексное переменное, т.е. если перейти от вещественного переменного к комплексному переменному.

Пусть функция задана для положительных значенийи равна нулю при, причем она может не удовлетворять условию (4.1). Умножая на , гдеи, получим, пользуясь выражением (3.1):

(4.2)

На основании (3.2) тогда имеем

.

Отсюда видно, что

(4.3)

Вводя комплексную переменную , запишем вместо (4.2)

. (4.4)

Полученное соотношение, преобразующее вещественную функцию вещественного переменногов функциюкомплексного переменного, называется преобразованием Лапласа. Функцию называют изображением функции , а саму функцию называют оригиналом. Символически связь между изображением и оригиналом записывается так:

Из изложенного следует, что изображение может быть формально получено из прямого преобразования Фурье заменой комплексным переменным. Функция имеет изображение, если , гдеи- постоянные числа. В качестве примера функции, не имеющей изображения, можно привести или . Функции, встречающиеся в радиотехнике, обычно имеют изображение.

Теперь в ином виде представим выражение (4.3), переходя к переменной , Так как , то,a пределы интегрирования в (4.3) при изменении отдотеперь будут соответственнои.Тогда получаем:

. (4.5)

Это соотношение, которое известно в математике как формула обращения Римана-Моллина, иногда называют обратным преобразованием Лапласа.

В отличие от интеграла Фурье, где функция представлена суммой бесконечно большого числа элементарных гармонических колебаний, здесь функцияпредставлена суммой бесконечно большого числа элементарных колебаний, убывающих по экспоненциальному закону.

В выражении (4.5) интегрирование ведется по прямой, лежащей на плоскости комплексного переменного и отстоящей от оси мнимой величинына расстоянии. В теории функций комплексного переменного^*)доказывается, что интегрирование в выражении (4.5) может быть произведено по замкнутому контуру (рис. 4.1). Контур интегрирования должен охватывать все полюсы подинтегралыюй функции, т.е. точкиплоскости комплексного переменного, в которых подинтегральная функция выражения (4.5) обращается в бесконечность. Вычисление интеграла при этом сводится к определению суммы вычетов (обозначаемых буквами) подинтегральной функции в полюсе, т.е.

(4.6)

При вычислении вычетов подинтегральную функцию во многих случаях можно представить в виде отношения двух функций:

Значения комплексного переменного , при которых знаменатель обращается в нуль, а следовательно, подинтегральная функция — в бесконечность, и будут полюсами под интегральной функции. В данном случае полюсы являются корнями уравнения . Число полюсов подинтегральной функции определяется числом корней этого уравнения.

Пусть число полюсов равно . Каждый из них может иметь различный порядок, обозначаемый через . Порядок полюса равен порядку младшей отличной от нуля производной функции по при , т.е. порядку производной

Вычет подинтегралъной функции в полюсе порядканаходится по формуле

Если полюс простой, т.е. первого порядка, то вычет в этом полюсе определяется выражением

(4.8)

Для пояснения изложенного рассмотрим простейшие примеры. Пусть задана единичная функция . Изображение этой функции будет

Тогда оригинал по этому изображению находится с помощью (4.5)

или, так как полюс подинтегральной функции , то согласно (4.8) вычет подинтегральной функции в этом полюсе

и на основании (4.6) имеем , т.е. получаем исходную функцию. Символически можно записать:

(4.9)

Пусть теперь задана экспоненциальная функция

Изображение этой функции:

По найденному изображению определим теперь оригинал

Полюсом подинтегральной функции является . Вычет в этом полюсе равен

Таким образом, можем записать:

(4.10)

Легко убедиться, что если задана функция , то оказывается справедливой запись

. (4.11)

Для дельта функции изображение имеет вид:

. (4.12)

Для вычисления оригиналa по известному изображению кроме рассмотренного способа вычетов в ряде случаев удобно применять так называемую теорему разложения, предложенную Хевисайдом.

Пусть изображение является рациональной дробью

,

представляемой через полиномы и, причем степень меньше степени . Тогда можно показать, что если уравнение имеетразличных корней, то функцияпредставляется следующей суммой:

. (4.13)

Находя по формуле (4.11) оригинал функции , получим выражение для нахождения по изображению оригинала, т.е. функции :

. (4.14)

Это выражение, являющееся записью теоремы разложения, позволяет представить искомую функцию в виде совокупностиэкспоненциальных функций. При этом предполагается, что функция тождественно равна нулю при .

Выражению (4.14) можно придать иной вид для случая, если один из корней уравнения равен нулю. Обозначим, где -полином, не имеющий нулевых корней. Выделим в выражении (4.13) слагаемое, соответствуют ее нулевому корню. Так как в принятом обозначении для производной функции имеем, то вместо (4.13) получаем:

.

Учитывая выражения (4.9) и (4.11), получаем для нахождения оригинала по заданному изображениювыражение

, (4.15)

где - корни уравнения. Если полином имеет кратные корни, формула для нахождениязначительно усложняется и ее рассматривать не будем.