3. Пространства функций [1,3,11,16,29].

Пространства функций можно считать обобщением пространства N-мерных сигналов – векторов на аналоговые сигналы, как бесконечномерные векторы, с некоторыми чисто практическими уточнениями.

Нормирование метрических параметров. Норма функций в пространстве L²[a, b] определяется выражением:

||s(t)|| =.

Нетрудно заключить, что чем больше интервал [a, b] в этой формуле, тем больше (при прочих равных условиях) будет значение нормы. При анализе и сравнении сигналов (как аналоговых, так и многомерных дискретных) такое понятие не всегда удобно, и вместо него очень часто используют понятие нормы, нормированной относительно длины интервала[a, b]. Для символьного обозначения нормирования будем применять знак ^:

||s(t)||^ =, ||s_n||^ =.

Метрика сигналов (расстояние между сигналами) при аналогичном нормировании:

d^(s(t), v(t)) =, d^(s_n, v_n) =

Эти выражения применяются для вычисления среднеквадратического расхождения сигналов или среднеквадратической погрешности выполнения какой-либо операции при сравнении ее результата с теоретически ожидаемым или априорно известным.

Нормированное скалярное произведение сигналов:

s(t), v(t)^ =s(t)v(t) dt = ||s(t)||^ ||v(t)||^cos .

s_n, v_n^ =(1/N)s_n v_n = ||s_n||^||s_n||^cos .

Косинус угла (коэффициент корреляции) между сигналами – функциями не изменяет своих значений при вычислении как по нормированным, так и по ненормированным значениям скалярного произведения и нормы сигналов (значения нормировки в числителе и знаменателе выражения (2.1.8) сокращаются). Взаимная перпендикулярность функций определяется аналогично взаимной перпендикулярности векторов условием нулевого значения скалярного произведения.

Норма, метрика и скалярное произведение периодических функций обычно нормируются на длину главного периода Т.

Ортогональные сигналы. Два сигнала называются ортогональными (orthogonal), если имеют нулевое скалярное произведение

u(t), v(t) =u(t)v(t) dt = 0.

Соответственно, два таких сигнала в своем функциональном пространстве являются взаимно перпендикулярными (угол между сигналами равен  = 90^о), полностью независимыми друг от друга (некоррелированными, r = cos , и имеют нулевую энергию взаимодействия (E_uv = 0).

На рисунке 2.3.1 приведены примеры взаимно ортогональных сигналов. Нулевое скалярное произведение двух левых сигналов обеспечивается их формой (равна нулю сумма положительных и отрицательных значений произведения сигналов), а двух правых - взаимным расположением (ненулевые значения сигналов не имеют общих координат).

Рис. 2.3.1. Ортогональные сигналы.

Попутно заметим, что энергия и мощность суммы ортогональных сигналов обладают свойством аддитивности, т.к. имеют нулевое значение скалярного произведения и, соответственно, энергии взаимодействия.

Ортонормированный базис пространства. Множество сигналов – векторов {v_k, k = 1, 2, …, N} в N-мерном декартовом пространстве при единичной норме и выполнении условий взаимной ортогональности:

v_m, v_n = (2.3.1)

могут быть приняты в качестве ортонормированного базиса данного пространства. Выражение (2.3.1) обычно записывается в следующей форме:

v_m, v_n = _mn, (2.3.1')

где _mn – импульс Кронекера, равный правой части выражения (2.3.1).

С использованием ортонормированного базиса любой произвольный сигнал можно представить в виде линейной комбинации взвешенных базисных векторов:

s = c₁v₁ + c₂v₂ + … + c_Nv_N,

где весовое значение с_k определяется проекцией вектора s на соответствующее координатное направление:

c_k = s, v_k.

При распространении данных положений на функциональное пространство L²[a, b] в качестве координатного базиса пространства мы должны использовать совокупность функций {u₀(t), u₁(t), u₂(t), …}, в пределе - бесконечную, которая должна быть системой ортогональных функций {u_k(t), k=0, 1, 2, …}, т.е. все функции на этом отрезке должны быть взаимно ортогональны:

u_m(t), u_n(t) =u_m(t) u_n(t) dt = 0, m = 1, 2, ... ; n = 1, 2, ... ; m  n.

Система ортогональных функций на интервале [a, b] будет ортонормированной (orthonormal functions), если все функции системы при m=n имеют единичную норму, т.е. выполняются условия:

u_m(t), u_m(t) = ||u_m(t)||² =(u_m(t))² dt = 1, ||u_m(t)|| = 1, m = 1, 2, ....

Эти условия можно записать в следующей обобщенной форме:

u_m(t)·u_n^*(t) dt = _m,n.

Система ортогональных функций всегда может быть превращена в ортонормированную путем нормировки, т.е. деления всех функций на их норму.

Разложение сигнала в ряд. Произвольный сигнал s(t)  H (пространство Гильберта), заданный на интервале [a, b], может быть разложен в ряд по упорядоченной системе ортонормированных базисных функций u_k(t)

s(t) =c_ku_k(t). (2.3.2)

Для нахождения значений коэффициентов с_k умножим обе части данного выражения на базисную функцию u_m(t) с произвольным номером m и проинтегрируем результаты по переменной t, при этом получим

s(t)u_m(t) dt =c_k u_mu_k dt.

С учетом ортонормированности функций u_i(t), в правой части этого равенства остается только один член суммы с номером m = k при u_ku_k dt =1, который, по левой части уравнения, представляет собой скалярное произведение сигнала и соответствующего m = k базисного вектора, т.е. проекцию сигнала на соответствующее базисное направление

c_k =s(t)u_k(t) dt. (2.3.2)

Таким образом, в геометрической интерпретации коэффициенты с_k представляют собой проекции вектор - сигнала s(t) на соответствующие базисные направления u_k(t), т.е. координаты вектора s(t) по координатному базису, образованному системой ортогональных функций u(t), в пределе - бесконечномерной. При практическом использовании количество членов ряда (2.3.2) ограничивается определенным значением N, при этом для любого значения N совокупность коэффициентов c_k обеспечивают наименьшее по средней квадратической погрешности приближение к заданному сигналу.

Соответственно, энергия взаимодействия двух сигналов x(t) и y(t) может вычисляться по скалярному произведению их координатных проекций, которое, с учетом взаимной ортогональности всех проекций, будет равно:

x(t), y(t) =x(t)y(t) dt =[a_nu_n(t)] [b_mu_m(t)] dt =a_nb_n. (2.3.3)

Косинус угла между векторами x(t) и y(t) с использованием выражения (2.3.3):

cos  =a_nb_n /(||x(t)||||y(t)||).

Возможность разложения непрерывных сигналов и функций в обобщенные ряды по системам ортогональных функций имеет огромное принципиальное значение, так как позволяет вместо изучения несчетного множества точек сигнала ограничиться счетной системой коэффициентов ряда.

К системам базисных функций, которые используются при разложении сигналов, предъявляют следующие основные требования:

- для любого сигнала ряды разложения должны сходиться;

- при ограничении ряда по уровню остаточной погрешности расхождения с заданным сигналом количество членов ряда должно быть минимальным;

- функции должны иметь достаточно простую аналитическую форму;

- коэффициенты разложения должны вычисляться относительно просто.

Согласно теореме Дирехле, любой сигнал s(t), имеющий конечное число точек нарушения непрерывности первого рода и конечный по энергии на интервале [a, b], может быть разложен по системе ортонормальных функций, если существуют интегралы модуля сигнала и модуля его первой производной, т.е.:

|s(t)| dt < , |s'(t)| dt < .

Ортонормированные системы функций хорошо известны в математике. Это полиномы Эрмита, Лежандра, Чебышева, функции Бесселя, Лагерра и целый ряд других. Выбор типа функций в качестве координатного базиса сигнального пространства, как и координатных осей для обычного трехмерного пространства (декартовы, цилиндрические, сферические и пр.), определяется удобством и простотой последующего использования при математической обработке сигналов. При спектральном анализе сигналов используются, в основном, два вида ортонормированных функций гармонические функции и функции Уолша.

На интервале [-, ] рассмотрим систему следующих гармонических функций:

{1, sin t, sin 2t, …, sin kt}, k = 1, 2, 3, … (2.3.4)

Вычислим нормированные на интервал скалярные произведения системы:

1, sin kt =(1/2)sin kt dt = (1/2k) [cos k - cos(-kk = 1, 2, 3, …

sin mt, sin nt =(1/2)sin mt sin nt dt =(1/4){cos (m+n)t – cos (m-n)t} dt =

= = 0, при m n.

Следовательно, система (2.3.4) является системой взаимно ортогональных функций. Норма функций:

||sin kt||²=(1/2)sin² kt dt= (1/4)(1-cos 2kt) dt==1/2.

||sin kt|| = 1/, k = 1, 2, 3, …

Соответственно, для превращения системы (2.3.4) в ортонормированную следует разделить все функции системы на значение нормы (рис. 2.3.2):

{1, u_k(t) =sin kt}, k = 1, 2, 3, … (2.3.4')

Рис. 2.3.2. Ортонормированный базис гармонических функций.

Аналогичным образом можно убедиться в ортонормированности косинусной системы гармонических функций:

{1, u_k(t) =cos kt}, k = 1, 2, 3, …, (2.3.5)

и объединенной синус-косинусной системы:

{1, u_k(t) =sin kt, u_k(t) =cos kt}, k = 1, 2, 3, …(2.3.6)

Наибольшее распространение в качестве базисных функций частотного разложения нашли комплексные экспоненциальные функции exp(pt) при p = jf (преобразование Фурье) и p = s+jf (преобразование Лапласа), от которых с использованием формул Эйлера

exp(jt) = cos(t) + j sin(t), exp(-jt) = cos(t) - j sin(t),

cos(t) = [ехр(jt)+exp(-jt)]/2, sin(t) = [ехр(jt)-exp(-jt)]/2j

всегда можно перейти к синус-косинусным функциям. Термин "частотного" обязан своим происхождением независимой переменной частотного представления сигналов, которая измеряется в единицах, обратных единицам времени, т.е. в единицах частоты f = 1/|t|. Однако понятие частотного преобразования не следует связывать только с временным представлением сигналов, т.к. математический аппарат преобразования не зависит от физического смысла переменных. Так, например, при переменной "х", как единице длины, значение f будет представлять собой пространственную частоту - число периодических изменений сигнала на единице длины с размерностью 1/|х|.

Ортонормированная система функций Уолша, по существу, является предельной модификацией системы периодических функций с кратными частотами, при этом функции принимают значения только 1. Пример четырех первых функций Уолша на интервале Т от –0,5 до 0,5 приведен на рис. 2.3.3. Ортогональность и нормированность функций следует из принципа их построения. Стандартное математическое обозначение функций Уолша wal(k,х), где k = 0,1,2, … – порядковый номер функции, х = t/T – безразмерная координата (нормированная на интервал Т независимая переменная).

Наряду с функциями Уолша применяются также две связанные с ними системы четные и нечетные функции cal(n,х) = wal(2n,х), – аналогичные косинусам, и sal(n,х) = wal (2n-1,х), – аналогичные синусам.

Рис. 2.3.3. Функции Уолша.

При разложении сигналов форма спектров Уолша практически тождественна спектрам гармонических функций.

Разложение энергии сигнала. Допустим, что сигнал s(t) разложен в обобщенный ряд Фурье (2.3.2). Вычислим энергию сигнала непосредственной подстановкой выражения (2.3.2) в выражение (2.2.2)

E_s =s²(t) dt =c_mc_nu_mu_n dt =c_mc_n u_mu_n dt. (2.3.7)

В этом выражении в силу ортонормированности базисной системы отличны от нуля только члены с номерами m = n. Отсюда

E_s =s²(t) dt =c_n², (2.3.8)

т.е. при корректном разложении сигнала в обобщенный ряд Фурье энергия сигнала не изменяется, и равна сумме энергии всех составляющих ряда. Это соотношение называют равенством Парсеваля.