11.2.2. Расчет собственных частот колебаний стержневых систем

Рассмотрим расчетные схемы, которые относятся только к плоским стержневым системам.

Собственная частота, соответствующая k-й форме изгибных колебаний стержневых систем с учетом массы теплоносителя, определяется (см. также (9.11)) по формуле

(11.5)

где f_к — число колебаний в 1 с; — k-й корень частотного уравнения; EI — изгибная жесткость; m_c и m_т — погонная масса стержня и учитываемого теплоносителя соответственно.

Для составления частотного уравнения используют общее выражение собственных форм изгибных колебаний

X(x) = C₁S(x) + C₂T(x) + C₃U(x) + C₄V(x), (11.6)

где X(x) — функция координаты x, принимающая значение от 0 до l; С₁, С₂, С₃, С₄ — произвольные постоянные, определяемые граничными условиями; S(x), T(x), U(x), V(x) — табулированные функции Крылова, определяемые выражениями

(11.7)

В качестве граничных условий в опорных сечениях стержня принимают значения:

– прогиба Х(0,l);

– угла поворота X (0,l);

– момента EIX (0,l);

– перерезывающей силы EIX (0,l), где Х (0,l); Х (0,l); Х (0,l) — первая, вторая и третья производные от уравнения (11.6) (могут быть получены по справочным данным, например, в справочнике «Вибрации в технике» (М., 1978. Т. 3).

С учетом (11.6), (11.7) и граничных условий получают систему из четырех уравнений и составляют определитель из коэффициентов при постоянных С₁, С₂, С₃ и С₄, который приравнивают нулю. Раскрытие определителя дает частное уравнение, корнями которого является множество значений (l)_k. Для оценочных расчетов ограничиваются нахождением первых двух-трех корней (l), соответствующих основным формам колебаний. Число подлежащих учету корней частотного уравнения определяется шириной спектра нагрузок, способных вызвать сколько-нибудь заметные вибрации.

Для типовых расчетных схем стержневых систем и балок с различными условиями закрепления в табл. 11.1, 11.2. приведен для примера ряд значений корней частотных уравнений, соответствующих основным формам колебаний.

Приведенные в нормах [1, см. приложение 1] более полные таблицы содержат также значения корней частотного уравнения Г-образных участков стержней в зависимости от угла гиба  для определения основной собственной частоты колебаний в плоскости, перпендикулярной плоскости гиба. В [9] содержатся таблицы значений корней для многоопорных труб (стержней) 

Таблица 11.1

Значения l стержней с различными условиями крепления [1]

Схема стержня	Номер формы колебаний
	1	2	3	4
Оперт — оперт	3,142	6,283	9,425	12,566
Защемлен — защемлен	4,730	7,853	10,996	14,137
Защемлен — оперт	3,927	7,069	10,210	13,352
Защемлен — свободен	1,875	4,694	7,855	10,996

В расчетах стержневых систем со ступенчатым изменением сечений при наличии промежуточных опор и дополнительных масс при составлении частотных уравнений учитывают условия сопряжения смежных участков.

Аналитические условия сопряжения записывают в виде:

– равенства перемещений Х_– = Х₊;

– углов поворота X _– = X ₊;

– моментов (EIX )_– = (EIX )₊;

– перерезывающих сил с учетом реакций опор и сосредоточенных массовых нагрузок (EIX )_– = (EIX )₊ ± R.

В табл. 11.2 приведены значения первых корней частотных уравнений для типовых стержней с промежуточными опорами и сосредоточенными массами.

Таблица 11.2