Оценка качества работы сар по резонансному максимуму ачх замкнутой системы

Определение резонансного максимума по ЧХ разомкнутой САР

Пусть имеется САР, изображенная на рис.8.11.

Частотная (или, как ее еще называют, амплитудно-фазовая) характеристика замкнутой системы:

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ):

(1)

Примерный вид нормированной АЧХ представлен на рис.8.12.

Чем выше резонансный максимум M_p, тем меньше запас устойчивости, и тем больше склонность системы к колебаниям. В реальных САР величина M_p находится в пределах 1,0…1,8.

Возьмем на АЧХ некоторую точку а (рис.8.12), значение АЧХ в ней обозначим через М.

Отобразим точку а на комплексную плоскость частотной характеристики разомкнутой САР. Для этого в формуле (1) подставим :

(2)

Частотная характеристика разомкнутой САР в точке а может быть определена в виде:

,

и тогда

. (3)

Решая уравнение (3) относительно u и v, можно прийти к выводу, что линия равных значений М отображается на плоскость ЧХ разомкнутой САР в окружность, уравнение которой:

, (4)

где – радиус окружности;– смещение центра окружности по оси абсцисс.

Построив семейство таких окружностей (рис.8.13) для разных значений 1<М<¥, замечаем, что при M®¥ радиус окружности R®0 и окружность вырождается в точку с координатами (–1; j0). С другой стороны, при М®1 радиус R®¥, и окружность вырождается в линию, параллельную оси ординат и отстоящую от нее на 0,5.

Можно отметить, что для значений 0<M<1 получится семейство окружностей, расположенный справа от прямой М=1 симметрично с первым семейством. При М=0 окружность вырождается в точку, совпадающую с началом координат.

Величина резонансного максимума может быть определена путем нахождения окружности, которой касается ЧХ разомкнутой САР (совпадает только в одной точке). Например, САР, ЧХ которой в разомкнутом состоянии имеет вид W(jw) (рис.8.13) будет иметь резонансный максимум М_р=1.5.

Проектирование САР с заданным уровнем М_р

На практике очень часто ставят задачу: спроектировать систему, для которой М_р будет не больше некоторого заданного значения M_зад. Очевидно, что в общем случае задача будет решена, если обеспечить такой вид ЧХ разомкнутой системы, чтобы ее кривая не заходила внутрь окружности М=М_зад (рис.8.14). Таким образом, окружность М=М_зад ограничивает запретную зону для амплитудно-фазовой характеристики (заштрихована).

Рассмотрим частный случай. Пусть М_зад=2.

Решение.

По заданной величине М_зад определяем координаты радиуса и центра окружности:

; .

Строим окружность с центром в точке (–1,33; 0) радиуса 0,67 (рис.8.15).

Чтобы реальное значение резонансного максимума было меньше заданного, необходимо, чтобы ЧХ разомкнутой САР не заходила в запретную зону, т.е. внутрь окружности.

Пусть точка b принадлежит ЧХ разомкнутой САР. Обозначим угол, который образует вектор А, проведенный из начала координат в точку b, с отрицательным направлением оси u, через m. Очевидно, что угол m равен запасу устойчивости САР по фазе.

Из рис.8.15 следует, что запретная зона может иметь место при значении модуля АЧХ А разомкнутой системы

или

. (5)

Очевидно также, что для любого модуля А существует такой угол m, при котором ЧХ разомкнутой системы не заходит в запретную зону.

Из треугольника ObO₁ можно найти выражение для запаса по фазе, при котором ЧХ может попасть в запретную зону:

. (6)

Используя (6), можно построить называемые m-кривые (рис.8.16) [1], пользуясь которыми, для любого значения модуля А можно найти то значение величины m, при котором обеспечивается требуемое значение резонансного максимума.

Для зависимости (6) можно определить, что максимум будет иметь место при , а само значение максимума:

. (7)

Если имеются логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы, то по имеющимся m-кривым и при заданном значении М можно построить требуемое значение запаса по фазе для каждого значения модуля А, удовлетворяющего условию (5), которое для ЛАЧХ принимает вид:

. (8)

В результате можно получить запретную зону для ЛФЧХ. Чтобы показатель колебательности М_р не был больше заданного значения, ЛФЧХ не должна заходить в эту область.

Определим условия, при которых ЛФЧХ гарантированно не заходит в запретную область, на примере типовой ЛАЧХ типа "–2–1–2".

Пусть передаточная функция разомкнутой САР равна

, (9)

причем .

Логарифмические частотные характеристики такой разомкнутой САР представлены на рис.8.17.

Выражение для ЛФЧХ для (9) имеет вид:

где – запас по фазе, который запишем следующим образом:

(10)

Для зависимости (10) можно определить, что ее максимум будет иметь место при , а само значение максимума:

. (11)

Таким образом, максимальный запас по фазе определяется только постоянными времени, определяющими участок с наклоном "–1".

В[1] доказано, что значение максимального запаса по фазе (11) будет не меньше предельно допустимого запаса по фазе (7) при условии:

(12)

В граничном случае (равенство) ЛФЧХ будет касаться запретной зоны в точке m=m_max. В этом случае будет иметь место максимальное быстродействие системы при заданном уровне М_р.

Таким образом, при выполнении условий (12) для ЛАЧХ разомкнутой системы вида "–2–1–2" требования по величине М_р будут выполнены.

В случае, когда ЛАЧХ разомкнутой системы имеет вид "–2–1–2–3–4…", также можно пользоваться представленными зависимостями, предварительно заменив все апериодические звенья с частотами сопряжения правее частоты среза одним апериодическим звеном с постоянной времени T_S, равной сумме постоянных времени этих звеньев.

В этом случае второе условие принимает вид:

.