Передаточные функции

Для установления взаимосвязи между входом и выходом САР используются передаточные функции в операторной форме и передаточные функции в изображениях Лапласа.

Передаточная функция в операторной форме

Передаточной функцией (ПФ) САР или звена в операторной форме называется отношение оператора воздействия к собственному оператору.

Например, пусть САР описывается ДУ:

, (*)

где – входное воздействие;– выходная переменная;

–оператор воздействия;

–собственный оператор САР.

Передаточная функция САР в операторной форме, согласно определению, имеет вид:

. (**)

Степень полинома знаменателя называют порядком ПФ, а разность между степенями полиномов знаменателя и числителя – относительным порядком ПФ.

Нулями и полюсами ПФ (**) называют нули ее числителя и знаменателя соответственно, то есть корни уравнений и, гдеD рассматривается как алгебраическая переменная, а не как оператор. В то же время следует помнить, что ПФ в операторной форме является оператором, и поэтому ее нельзя рассматривать как обычную дробь. В частности, числитель и знаменатель нельзя сокращать на общий множитель, содержащих оператор дифференцирования D.

Для представления ПФ в эквивалентной алгебраической форме используют преобразование Лапласа. Оно особенно удобно при исследовании линейных стационарных систем.

Преобразование Лапласа

Преобразованием Лапласа называют соотношение:

,

которое ставит функции действительного переменного в соответствие функциюкомплексного переменного ().

Функция , подвергающаяся преобразованию Лапласа, называетсяоригиналом, и должна обладать следующими свойствами:

• определена и кусочно-дифференцируема на интервале ;

• при ;

• существуют такие положительные числа c и M, что при любом выполняется неравенство.

Функция называетсяизображением. Оператор называютоператором преобразования Лапласа.

Соотношение

,

определяющее по известному изображению его оригинал, называют обратным преобразованием Лапласа, а оператор –оператором обратного преобразования Лапласа.

Таблицы соответствия между некоторыми оригиналами и изображения приведены в табл.2.1.

Рассмотрим основные свойства (теоремы) преобразования Лапласа (табл.2.2). Их доказательства несложны, и приводятся в специальной литературе.

Табл.2.1. Преобразования Лапласа [6]

Название функции	f(t)	F(p)	Название функции	f(t)	F(p)
Единичная ступенчатая функция			Синусоида
Единичная импульсная функция		1	Косинусоида
Единичная линейная функция	t		Затухающая синусоида
Степенная функция	tn		Затухающая косинусоида
Экспонента			Расходящаяся синусоида
Экспонента n-го порядка			Расходящаяся косинусоида

Передаточная функция в изображениях Лапласа

Передаточной функцией САР или звена в изображениях Лапласа называется отношение изображения выходной переменной к изображению входной переменной при нулевых начальных условиях, имеющее наименьший порядок.

Таким образом, согласно определению, ПФ в изображениях Лапласа не может иметь равные между собой нули и полюсы, так как в этом случае ее порядок следует понизить, сократив числитель и знаменатель на общий делитель.

Табл.2.2. Теоремы преобразования Лапласа [6]

Название операции	Формулировка теоремы	Название операции	Формулировка теоремы
Умножение оригинала на коэффициент k	, k=const	Чистое запаздывание
Сумма		Начальное значение
Производная		Конечное значение
Производная n-го порядка		Умножение оригинала на экспоненту
Интеграл		Интеграл свертки

Определим ПФ (в изображениях Лапласа) звена, описываемого ДУ (*), применив к обеим частями этого уравнения преобразование Лапласа, и используя свойство линейности преобразования (табл.2.2):

.

Учитывая, что начальные условия нулевые, с помощью табл.2.2 получаем:

.

Отсюда находим передаточную функцию от входа к выходу:

. (***)

Таким образом, ДУ в изображениях Лапласа легко получается из ДУ в операторной форме путем подстановки и замене переменных их изображениями. Поэтому ПФв изображениях Лапласа связана с ПФв операторной форме соотношением

.

При этом после подстановки следует сократить общие множители, если они присутствуют. Обратное соотношение

справедлива, если передаточная функция не имеет равных между собой нулей и полюсов.

Следует отметить очень важные моменты:

1. Последние два соотношения, устанавливающих соответствие между ПФ некоторой САР (или звена) в операторной форме и ПФв изображениях Лапласа, справедливытолько для стационарных САР. Поэтому в общем случае, когда говорят просто о передаточной функции САР или звена, имеют в виду ПФ в изображениях по Лапласу.

2. При наличии равных между собой нулей и полюсов ПФ в операторной форме некоторой САР (или звена) ПФв изображениях Лапласа не может служить его описанием при произвольных начальных условиях.