Примеры выполнения заданий Пример ручного счета численного интегрирования

Пример 1. Вычислить приближённо по формулам трапеций и Симпсона при . Оценить погрешность полученных результатов.

По условию , отсюда . Формулу Симпсона можно использовать только для нечетного количества точек, количество интервалов – четное. Нумерацию точек начнем с нуля. Для определения апостериорной погрешности пересчитаем значение интеграла для Дальнейшие вычисления оформляем в виде табл. 3.2.

Таблица 3.2

			Формула трапеций		Формула Симпсона
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2	0 0,099990 0,199680 0,297589 0,390015 0,470588 0,531161 0,564470 0,567536 0,543445 0,500000 0,446410 0,390421	1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1	1 0 2 0 2 0 2 2 2 0 2 0 1	1 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 1	1 0 4 0 2 0 4 0 2 0 4 0 1
			9,612189	4,767205	14,457172	7,228887
			= 0,480609	= 0,476720	= 0,481905	= 0,481925
			0,001297 < 0,002		0,0000015 < 0,000002

Ответ : (по формуле трапеций);

(по формуле Симпсона).

Пример 2. Вычислить интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0,001.

Чтобы выбрать необходимое для получения заданной точности число 2n, найдем f⁽⁴⁾(x). Последовательно дифференцируя функцию f(x) = , получаем

f⁽⁴⁾(x) = 4(4х⁴ - 12х² + 3).

Так как на отрезке [0, 1] £ 1, ½4х⁴ - 12х² + 3½£ 5, то .

Следовательно, можно принять М = 20.

Используя формулу оценки погрешности, имеем

20/2880n⁴<1/1000(), откуда n⁴ >1000/144.

Для того, чтобы выполнялось это неравенство, достаточно принять n = 2, т.е. 2n = 4. Теперь разобьем отрезок [0, 1] на четыре равные части точками

х₀ = 0, х₁ = 1/4, х₂ = 1/2, х₃ = 3/4, х₄ = 1

и вычислим приближенно значения функции f(x) = в этих точках: у₀ = 1,0000, у₁ = 0,9394, у₂ = 0,7788, у₃ = 0,5698, у₄ = 0,3679.

Применяя формулу Симпсона, получаем

Таким образом, с точностью до 0,001.

Следовательно, разбив отрезок [0, 1] на четыре равные части и заменив рассматриваемый интеграл суммой, стоящей в правой части формулы Симпсона, получим значение интеграла с необходимой точностью.