1.6.Экономико-математическая модель в форме линейных уравнений и неравенств

Ограничения по производственным ресурсам:

1. По посевной площади, га.:

х₁ + х₂ + х₃ + х₄ + х₅ + х₆ + х₇ + х₈ + х₉ + х₁₀ +х₁₁ + х₁₂ + х₁₃ + х₁₄ + х₁₅ + х₁₆ + х₁₇ ≤ 23296

где х₁ … х₁₇ – площади посева сельскохозяйственных культур.

Это ограничение означает, что засеянная площадь под всеми культурами, возделываемыми в хозяйстве , не должна превышать 23296 га.

Ограничения по таким сельскохозяйственным культурам, как сенокосы и пастбища беруться на жесткое равенство.

2. По использованию сенокосов, га

х₁₉ ≤ 2044,

где х₁₉ – площадь, занятая сенокосами, га.

3. По использованию пастбищ, га:

Х₂₀ ≤ 1500,

где х₂₀ – площадь, занятая пастбищами, га.

Для определения объема трудовых ресурсов в человеко-днях необходимо среднегодовое число постоянных работников умножить на число рабочих дней в году ( если в человеко-часах, то еще умножить на 7 часов). Для определения трудовых ресурсов в напряженный период необходимо это же число работников умножить на число дней в этом периоде ( если в человеко-часах, т о еще умножить на 7 часов).

Кроме этого в модели должна быть учтена сложившаяся структура севооборота. Рекомендуемый удельный вес зерновых и зернобобовых культур в общей площади пашни для южной лесостепной зоны Омской области составляет 50–55%, а трав – до 25%. Поэтому условие по площади зерновых и зернобобовых культур запишем в виде ограничения по минимально и максимально возможному включению.

4. По площади зерновых культур, минимум, га:

х₁ + х₂ + х₃ + х₄ + х₅ + х₆ + х₇ + х₈ + х₉  (24624 · 0,5),

или х₁ + х₂ + х₃ + х₄ + х₅ + х₆ + х₇ + х₈ + х₉  12312.

5. По площади зерновых культур, максимум, га:

х₁ + х₂ + х₃ + х₄ + х₅ + х₆ + х₇ + х₈ + х₉ ≤ 24624 (· 0,55),

или х₁ + х₂ + х₃ + х₄ + х₅ + х₆ + х₇ + х₈ + х₉  13543,2

6. По площади трав, га:

х₁₃ + х₁₄ + х₁₅+ х₁₆ + х₁₇ ≤ (24624 · 0,25),

или х₁₃ + х₁₄ + х₁₅+ х₁₆ + х₁₇ ≤ 6156

7. По балансу трудовых ресурсов за год, чел.-дн.:

0,65X₁ + 0,65X₂ + 0,48X₃ + 0,48X₄ + 0,65X₅ + 0,65X₆ + 0,65X₇ + 0,67Х₈ + 0,67Х₉ + 0,3Х₁₀ + 0.17Х₁₁ + 0.24Х₁₂ + 0,1Х₁₃ + 0,08Х₁₄ + 0,58Х₁₅ + 0,58Х₁₆ + 0,58Х₁₇+0,12Х₁₈ +1.08Х₁₉ + 22,2Х₂₂ + 1,05Х₂₃≤ 121365

Коэффициенты при переменных означают затраты труда на еденицу отрасли. Для записи ограничения по балансу трудовых ресурсов в напряженный период введем дополнительную переменную Х₂₄

8. По балансу трудовых ресурсов в напряженный период, чел.-дн.:

0,39Х₁ + 0,39Х₂ +0, 28Х₃ + 0,28Х₄ +0,39Х₅+ 0,39Х₆ +0,39Х₇+ 0,4Х₈ +

+ 0,4Х₉ +0.1Х₁₁ + 0.14Х₁₂ + 1,9Х₂₂ + 0,09Х₂₃ – Х₂₄ ≤ 13050

где 13050 − отработано постоянными работниками в сельском хозяйстве в напряженный период чел.-дн.

Для формирования следующего ограничения введем дополнительную переменную Х₂₁, обозначающую потребность в соломе (ц) в годовом рационе коров. Эта потребность должна быть не более выхода соломы на кормовые цели.

9. По балансу соломы, ц:

Х₂₁  7,5х₁ + 7,5х₂ + 10,7х₃ + 10,7х₄+ 7,83х₅+8.5х₆ + 8,8х₇+21,6х₁₂ + 0,9х₁₈,

после преобразования получим:

Х₂₁ -7,5х₁ - 7,5х₂ - 10,7х₃ - 10,7х₄ - 7,83х₅-8.5х₆ - 8,8х₇- 21,6х₁₂ - 0,9х₁₈≤ 0;

где коэффициенты при переменных х₁х₆ обозначают выход соломы с 1 га соответствующей зерновой культуры в натуральном выражении.

10. По балансу кормовых единиц, ц:

–1,67Х₁ – 22,97Х₂ – 2,37Х₃ –33,38Х₄ – 11,8Х₅ – 11,8Х₆ – 11,8Х₇ – – 14,91Х₈ – 14,91Х₉ – 10,03Х₁₁ – 18,67Х₁₂ – 5,68Х₁₃ – 22,62Х₁₄ – 64,19Х₁₅ – 64,19Х₁₆ – 64,19Х₁₇ - 1,6Х₁₈ – 13,6Х₁₉ – 24,28Х₂₀ – 0,49Х₂₁ + 37,47Х₂₂ + 17,64Х₂₃ ≤ 0,

где коэффициенты при переменных х₁  х₂₀ обозначают выход кормовых единиц с 1 га соответствующей культуры или. Коэффициент при х₂₁ отражает нормативное содержание кормовых единиц в единице усредненной соломы, а коэффициенты при х₂₂ и х₂₃ – годовую потребность в кормовых единицах на одну голову коров, молодняка крупного рогатого скота.

11. Аналогично формируется ограничение по переваримому протеину (ц).

–0,16Х₁ – 1,98Х₂ – 0,22Х₃ –2,87Х₄ – 1,16Х₅ – 1,16Х₆ – 1,16Х₇ – 1,46Х₈ – 1,46Х₉ – 0,02Х₁₀ – 1,45Х₁₁ – 0,78Х₁₂ – 0,56Х₁₃ – 2,22Х₁₄ – 6,29Х₁₅ – 6,29Х₁₆ – 6,29Х₁₇ – 0,15Х₁₈ - 1,33Х₁₉ – 2,38Х₂₀ – 0,014Х₂₁ + 4,04Х₂₂ + 1,81Х₂₃ ≤ 0,

12. По балансу концентрированных кормов, ц к. ед.:

–1,67Х₁ – 22,97Х₂ –2,37Х₃ – 33,38Х₄ – 11,8Х₅ – 11,8Х₆ –11,8Х₇ – 14,91Х₈ – 14,91Х₉ + 6,74Х₂₂ + 2,82Х₂₃ + Х₂₅ + Х₃₀≤ 0

где коэффициенты при переменных Х_1,2,6,7,8,9 – обозначают выход кормовых единиц с 1 га соответствующей зерновой товарной или зернофуражной культуры.

Коэффициенты при переменных х₂₂, х₂₃ обозначают потребность в концентрированных кормах (ц к. ед.) по нижней границе в расчете на одну голову соответственно коров и молодняка крупного рогатого скота.

Дополнительные переменные х₂₅ и х₃₀ отражают прирост концентратов сверх минимальной потребности в расчете на все поголовье коров и молодняка крупного рогатого скота в годовом рационе.

Аналогично построены ограничения по балансу сена, соломы, силоса и зеленых кормов (соответственно в рационе коров и молодняка крупного рогатого скота: х₂₆, х₃₁ – прирост сена, х₂₇, х₃₂ – соломы, х₂₈, х₃₃ – силоса, х₂₉, х₃₄ – зеленых кормов).

13. По балансу сена, ц к. ед.:

–2,82Х₁₃ – 13,6Х₁₉ +3,0Х₂₂ +2,64Х₂₃ +Х₂₆ +Х₃₁ ≤ 0.

14. По балансу соломы, ц к. ед.:

–0,49Х₂₁ + 0,75Х₂₂ + 1,06Х₂₃ + Х₂₇ + Х₃₂ ≤ 0.

15. По балансу силоса, ц к. ед.:

–18,67Х₁₁ –10,03Х₁₂ + 9,36Х₂₂ + 3,17Х₂₃ + Х₂₈ + Х₃₃ ≤ 0.

16. По балансу сенажа, ц к.ед.

–0,20Х₁₈ + 4,64Х₂₂ + 1,36Х₂₃ + Х₄₂ + Х₄₃ ≤ 0.

17. По балансу зеленых кормов, ц к. ед.:

–10,03Х₁₂ –10,88Х₁₄ – 64.9Х₁₅ – 64.9Х₁₆ – 64.9Х₁₇ – 24,28Х₂₀ + 8,24Х₂₂ + 4,05Х₂₃ + Х₂₉ + Х₃₄ ≤ 0.

Ограничения по организации зеленого конвейера строятся следующим образом:

18. По балансу зеленых кормов в мае, ц к. ед.:

–0,68Х₂₀ – 1,21Х₁₄+ 0.74Х₂₂ +0.37Х₂₃ + 0,08Х₂₉ + 0,08Х₃₄ ≤ 0.

19. По балансу зеленых кормов в июне, ц к. ед.:

–1,52Х₂₀ – 4,24Х₁₄ + 2.75Х₂₂ + 1.35Х₂₃ + 0,33Х₂₉ + 0,33Х₃₄ ≤ 0.

20. По балансу зеленых кормов в июле, ц к. ед.:

–0,95Х₂₀ – 3,02Х₁₄ – 14,2Х₁₅ + 2.75Х₂₂ + 1.35Х₂₃ + 0,33Х₂₉ + 0,33Х₃₄ ≤ 0.

21. По балансу зеленых кормов в августе, ц к. ед.:

–0,9Х₂₀ – 2,42Х₁₄ – 14,20Х₁₆ + 2,75Х₂₂ + 1,35Х₂₃ + 0,33Х₂₉ + 0,33Х₃₄ ≤ 0.

22. По балансу зеленых кормов в сентябре, ц к. ед.:

–0,45Х₁₉ – 1,21Х₁₄ – 14,2Х₁₇ + 0.74Х₂₂ + 0,37Х₂₃ + 0,08Х₂₉ + 0,08Х₃₄ ≤ 0.

Коэффициенты, стоящие в ограничениях по зеленому конвейеру при переменных Х₂₂, Х₂₃, обозначают долю от общей минимальной потребности животных в зеленом корме, приходящуюся на данный месяц (ц к. ед.), коэффициенты при переменных Х₂₉, Х₃₄ показывают долю от единицы прироста зеленых кормов для коров и молодняка крупного рогатого скота, которая должна приходиться на рассматриваемый месяц. Коэффициенты, стоящие при переменных, выражающих площади кормовых культур и пастбищ, обозначают выход зеленых кормов с 1 га (ц к. ед.) в соответствующем месяце.

Прирост каждой группы кормов в рационе коров и молодняка крупного рогатого скота должен быть ограничен. Верхняя граница этого прироста в расчете на одну голову определяется разностью между верхней и нижней границей содержания в рационе данной группы корма

23. Ограничение по приросту концентрированных кормов в рационе коров, ц к. ед.:

–3Х₂₂ + Х₂₅ ≤ 0,

где коэффициент при х₂₂ отражает разницу между максимальной и минимальной потребностью коров в концентрированных кормах (ц к. ед.), т. е. возможный прирост концентратов сверх минимальной нормы.

Аналогично построены ограничения по приросту остальных групп кормов в рационе коров:

24. По приросту сена, ц к. ед.:

–3Х₂₂ + Х₂₆ ≤ 0.

25. По приросту соломы, ц к. ед.:

–2,25Х₂₂ + Х₂₇ ≤ 0.

26. По приросту силоса, ц к. ед.:

–5,99Х₂₂ + Х₂₈ ≤ 0.

27. По приросту зеленых кормов, ц к. ед.:

–2,25Х₂₂ + Х₂₉ ≤ 0.

28. По приросту сенажа, ц.к.ед.:

–3,37Х₂₂ + Х₄₂ ≤ 0.

29. По приросту концентрированных кормов в рационе молодняка крупного рогатого скота, ц к. ед.:

–1,41Х₂₃ + Х₃₀ ≤ 0.

Аналогично построены ограничения по приросту остальных групп кормов в рационе молодняка крупного рогатого скота:

30. По приросту сена, ц к. ед.:

–0,7Х₂₃ + Х₃₁ ≤ 0.

31. По приросту соломы, ц к. ед.:

–1,06Х₂₃ + Х₃₂ ≤ 0.

32. По приросту силоса, ц к. ед.:

–3,17Х₂₃ + Х₃₃ ≤ 0.

33. По приросту сенажа, ц.к.ед.:

–1,21Х₂₃ + Х₄₃ ≤ 0.

34. По приросту зеленых кормов, ц к. ед.:

–1,41Х₂₃ + Х₃₄ ≤ 0.

Суммарный прирост всех групп и видов кормов в годовом рационе в расчете на одну корову должен быть равен разности между общей потребностью (в ц к. ед.) и суммой потребностей всех групп кормов по нижним границам.

В рационе коров: 37,47 – 32,73 = 4,74

В рационе молодняка крупного рогатого скота: 17,64– 15 = 2,64.

35. По суммарному приросту кормов в рационе коров, ц к. ед.:

Х₂₅ + Х₂₆ + Х₂₇ + Х₂₈ + Х₂₉ + Х₄₂ = 4,74Х₂₂,

после преобразования получим:

–4,74Х₂₂ + Х₂₅ + Х₂₆ + Х₂₇ + Х₂₈ + Х₂₉+ Х₄₂ = 0,

где коэффициент при х₂₂ отражает разность между общей потребностью коров в кормах (ц к. ед.) и суммой потребностей всех групп кормов по нижним границам.

Аналогично строится ограничение для молодняка крупного рогатого скота.

36. По суммарному приросту кормов в рационе молодняка крупного рогатого скота, ц к. ед.:

–2,64Х₂₃ + Х₃₀ + Х₃₁ + Х₃₂ + Х₃₃ + Х₃₄ + Х₄₃ = 0.

Ограничения по реализации продукции

37. По балансу реализации пшеницы, ц:

20,1 х₁ +29,3 х₃ – х₃₅ – х₃₆ = 0,

где коэффициент при переменной х₁ обозначает выход товарной пшеницы с 1 га посева. Аналогично берутся и показатели выхода товарной продукции с 1 га гороха и овса.

38. По реализации пшеницы на рынок, ц:

х₃₅ ≥ 131892

где правая часть ограничения – объем реализации пшеницы на рынок.

39. По реализации пшеницы работникам организации, ц:

х₃₆ ≥ 4086

где правая часть ограничения – объем реализации пшеницы работникам организации.

Если реализация продукции осуществляется по одному каналу (в нашем случае горох, овес, молоко и ячмень), то в ограничениях, соответствующих реализации того или иного продукта, при переменных Х_5, Х_{6 ,}Х₂₂ и Х₈ будут стоять коэффициенты, обозначающие выход товарной продукции на единицу размерности соответствующей отрасли, а в правой части ограничений – гарантированный объем реализации.

40. По реализации овса, ц:

24,3 х₆ ≥ 34.

41. По реализации гороха, ц:

30,7х₈ ≥ 100

42. По реализации ячменя, ц:

24,3 х₅ ≥ 35709.

43. По реализации молока, ц:

34,3 х₂₂ ≥ 53735

44. По балансу подсолнечника, ц:

2,1 х₁₀ – х₄₀ – х₄₁ = 0

45. По реализации подсолнечника на рынок, ц:

Х₄₀≥ 10898

46. По реализации подсолнечника на переработку, ц:

Х₄₁ ≥ 369

47. По балансу товарного мяса, ц:

1,1х₂₂ + 1,04х₂₃ – х₃₇ – х₃₈ = 0,

где коэффициенты при переменных х₂₂ и х₂₃ обозначают выход товарного мяса.

48. По реализации мяса на рынок, ц:

Х₃₇ ≥ 5302.

49. По реализации мяса работникам организации, ц:

Х₃₈ ≥ 117.

Ограничения по сочетанию отраслей

50. По соотношению площадей однолетних и многолетних трав на зеленый корм, га:

– 2х₁₄ + х₁₅ + х₁₆ + х₁₇ = 0.

Это ограничение отражает следующее условие: площадь под однолетними травами на зеленый корм в два раза больше, чем под многолетними травами.

51. По соотношению поголовья коров и молодняка крупного рогатого скота, гол.:

–1,31х₂₂ + х₂₃ = 0,

где коэффициент при х₂₂ отражает превышение поголовья молодняка крупного рогатого скота над поголовьем коров и определяется следующим образом:

– поголовье крупного рогатого скота фактически составляет 3809 гол.;

– поголовье коров – 1650 гол.; тогда удельный вес коров в стаде будет равен (1650/3809) ∙100 = 43,3%.

Запишем ограничение: х₂₂ = 0,433(х₂₂ + х₂₃),

или Х₂₂ – 0,433х₂₂ – 0,433 х₂₃ = 0, после преобразования получим:

0,567 х₂₂ – 0,433 х₂₃ = 0, разделим уравнение на 0,433 и получим уравнение в первоначальном варианте.

52. По определению общей суммы материально-денежных затрат (МДЗ), тыс. руб.:

6,01Х₁ + 6,01Х₂ + 5,56Х₃ + 5,56Х₄ + 6,01Х₅ + 6,07Х₆+ 6,01Х₇ + 6,04Х₈ + 6,04Х₉ + 2,03Х₁₀ + 5,54Х₁₁ + 3,96Х₁₂ + 0,83Х₁₃ + 0,66Х₁₄ + 6,44Х₁₅ + 6,44Х₁₆ + 6,44Х₁₇+ 0,99Х₁₈ +0,68Х₁₉ + 31,04Х₂₂ + 11,05Х₂₃ – Х₃₉ = 0,

где х₄₀ – вспомогательная переменная, обозначающая общую сумму материально-денежных затрат;

технико-экономические коэффициенты при переменных, обозначающих площади культур, угодий и поголовье животных, представляют собой материально-денежные затраты в расчете соответственно на 1 га и 1 гол.

Критерий оптимальности задачи – максимум условной прибыли:

Z_max = 0,377Х₅+0,382Х₆ + 1Х₈+0,983Х₂₂ – Х₃₉ + 4,636Х₃₇ + 4,43Х₃₈ + 0,435Х₃₅ + 0,4Х₃₆ + 0,672Х₄₀ + 0,65Х₄₁

где коэффициенты при х₅, х_6, х₈ и х₂₂ обозначают выручку от реализации гороха, овса, молока соответственно, коэффициенты при х₃₅, х₃₈ – цены реализации пшеницы на рынок и работникам хозяйства соответственно в расчете на 1 ц продукции, а при х₃₇, х₃₈ – цены реализации мяса крупного рогатого скота по соответствующим каналам за центнер и х₄₀, х₄₁ - цены реализации подсолнечника на рынок и на переработку.