3.3.3. Критерий устойчивости Рауса.
Критерий Рауса требует несколько меньшего объема вычислений, чем критерий Гурвица и более удобен для программирования на ЭВМ. Для суждения об устойчивости системы по этому критерию необходимо составить таблицу Рауса.
Таблица Рауса
|
i (номер строки) |
k (номер столбца) |
||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
……. |
|
|
1 |
d0 |
d2 |
d4 |
d6 |
d8 |
d10 |
d12 |
d14 |
....... |
|
2 |
d1 |
d3 |
d5 |
d7 |
d9 |
d11 |
d13 |
d15 |
....... |
|
3 |
c13 |
c23 |
c33 |
c43 |
c53 |
c63 |
c73 |
..... |
....... |
|
4 |
c14 |
c24 |
c34 |
c44 |
c54 |
c64 |
c74 |
...... |
....... |
|
5 |
c15 |
c25 |
c35 |
c45 |
c55 |
c65 |
..... |
....... |
....... |
|
6 |
c16 |
c26 |
c36 |
c46 |
c56 |
....... |
........ |
...... |
........ |
|
7 |
c17 |
c27 |
c37 |
c47 |
....... |
....... |
......... |
....... |
....... |
|
8 |
c18 |
c28 |
c38 |
....... |
........ |
....... |
......... |
........ |
......... |
Элементы каждой строки для i>2 вычисляются по формуле
(3.13)
Для того, чтобы корни характеристического уравнения лежали в левой полуплоскости и система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все элементы первого столбца таблицы Рауса были строго положительны.
Частотные критерии устойчивости
Принцип аргумента.
Частотные критерии устойчивости используются в графоаналитическом виде и отличаются большой наглядностью при проведении расчетов. В основе всех частотных методов лежит принцип аргумента.
Рассмотрим характеристическое уравнение системы
Если i, i=1,2,...n- корни этого уравнения, то
Каждому корню на комплексной плоскости соответствует определенная точка, и геометрически на этой плоскости каждый корень можно изобразить в виде вектора с модулем i, проведенного из начала координат (рис.3.4). Сделаем замену s=j и получим
В соответствием с правилом вычитания векторов получим, что конец каждого элементарного вектора (j - i) находиться на мнимой оси.
j
j
- 3
j-
1
3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Рис. 3.4. К определению принципа аргумента
Аргумент вектора D(j) равен сумме аргументов элементарных векторов
Направление вращения вектора (j - i) против часовой стрелки при изменении частоты от - до + принято считать положительным, а по часовой стрелке- отрицательным. Предположим, что характеристическое уравнение имеет m корней в правой полуплоскости и n - m корней в левой полуплоскости. При изменении частоты от - до + каждый вектор (j - i), начало которого лежит в левой полуплоскости повернется на угол + , а каждый вектор, начало которого лежит в правой полуплоскости - на угол -. Изменение аргумента вектора D(j) при этом будет
Это выражение и определяет принцип аргумента. Изменение аргумента вектора D(j) при изменении частоты от - до + равно разности между числом (n-m) корней уравнения D(s)=0, лежащих в левой полуплоскости, и числом m корней этого уравнения, лежащих в правой полуплоскости, умноженной на .
Критерий устойчивости Михайлова. Из (3.14) следует, что если все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости, т.е. m=0 , то
Отсюда следует первая формулировка критерия Михайлова. Система автоматического управления устойчива, если при возрастании частоты от - до + изменение аргумента вектора D(j) будет равно n, где n- порядок характеристического уравнения. Вектор D(j) можно представить в виде
Вещественная составляющая этого выражения является четной функцией, а мнимая - нечетной функцией частоты, т.е. U(-)=U(); V(-)= -V() и D(- j)=U() - jV(). Отсюда следует, что кривая Михайлова симметрична относительно вещественной оси и при ее построении можно ограничиться диапазоном частот от 0 до +. Изменение аргумента вектора D(j) при этом уменьшится в два раза и формулировка критерия Михайлова будет следующей. Система автоматического управления устойчива, если при возрастании частоты от 0 до + вектор D(j) повернется на угол n/2 или, что то же самое, если кривая Михайлова при том же изменении частоты, начиная с положительной вещественной полуоси, обходит последовательно в положительном направлении n квадрантов и заканчивается в n-ом квадранте (рис.3.5). Если хотя бы один квадрант пропущен (рис.3.6), то система неустойчива. Наблюдая за поведением кривой Михайлова для устойчивой САУ, можно заметить, что при ее прохождении через n квадрантов корни уравнений U()=0 и V()=0 чередуются между собой, т.е. между двумя корнями уравнения V()=0 лежит один корень уравнения U()=0. Система автоматического управления устойчива, если корни уравнений V()=0 и U()=0 вещественные и перемежаются между собой. Система может находиться на границе устойчивости и этому соответствуют два случая: характеристическое уравнение системы имеет один нулевой корень, что будет при аn=0; кривая Михайлова при этом выходит из начала координат; 2)характеристическое
уравнение имеет пару чисто мнимых
корней
Рис. 3.5. Кривые Михайлова для Рис. 3.6. Кривая Михайлова для устойчивых САУ неустойчивой САУ
Используя критерий Михайлова, можно определить критические значения параметров системы, при которых она находиться на границе устойчивости, в частности критический коэффициент усиления. Для этого нужно решить систему уравнений
Пример. Используя критерий Михайлова, оценить устойчивость системы стабилизации угла тангажа самолета и определить критическое значение передаточного числа k. Характеристическое уравнение замкнутой системы было получено выше и имеет вид
Сделаем замену s=j и выделим вещественную и мнимую части
Построенная при заданных ранее параметрах системы кривая Михайлова имеет вид, показанный на рис.3.7. Кривая начинается на вещественной положительной полуоси, проходит последовательно 4 квадранта и заканчивается в 4-м квадранте. Следовательно, при данных параметрах исследуемая система устойчива.
Рис. 3.7. Кривая Михайлова для системы стабилизации угла тангажа
Для определения критического значения передаточного числа по углу тангажа составим систему уравнений
Из
второго уравнения системы определяем
частоту и подставив выражение для нее
в первое уравнение, после преобразований
получим квадратное уравнение
относительно искомого значения
передаточного числа
Построение кривой Михайлова для систем высокого порядка может быть связано с громоздкими вычислениями и графическими построениями. В этих случаях может быть более просто оценить устойчивость по корням уравнений U()=0 и V()=0. Определим корни этих уравнений и расположим их на числовой оси корни уравнения U()=0
2.2 25 42.17 0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1
j
- 2
2
j
- 4
(3.14)
(3.15)
jk
и D(jk)=U(k)+jV(k)=0,
что может быть только если одновременно
U(k)=0 и V(k)=0;
это означает, что кривая Михайлова
проходит через начало координат.
(3.16)
Полученное
уравнение абсолютно идентично
полученному при решении задачи по
критерию Гурвица и результат таким
же
корни
уравнения V()=0
Рис. 3.8. Расположение корней на числовой оси.
Корни вещественные и перемежаются между собой. Система стабилизации угла тангажа устойчива.
Критерий устойчивости Найквиста.
Критерий устойчивости Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду АФЧХ разомкнутой системы.
Пусть передаточные функции разомкнутой
и замкнутой системы имеют вид:
Введем функцию
( 3.17)
где D(s)- характеристический полином замкнутой системы. Перейдя к частотным представлениям, получим
(3.18)
Вектор N(j) называется вектором Найквиста. Очевидно, что числитель и знаменатель этого вектора имеют один и тот же порядок n. При использовании критерия Найквиста следует различать два случая.
1). Разомкнутая система устойчива и ее характеристическое уравнение A(s)=0 имеет все корни в левой полуплоскости. Тогда при изменении частоты от 0 до
(3.19)
Изменение аргумента вектора D(j) в общем случае равно
(3.20)
где m- число корней уравнения D(s)=0, лежащих в правой полуплоскости.
Изменение аргумента вектора Найквиста будет
(3.21)
Если замкнутая система устойчива, то m=0 и
Так как при , W(j)0, то N(j)1. Рассмотрим рисунок 3.8а, на котором показана кривая Найквиста, которую описывает вектор Найквиста при изменении частоты от 0 до . Нетрудно убедиться, что вектор Найквиста опишет угол, равный нулю только в случае, если его годограф не охватывает начало координат. Перенесем начало координат в точку с координатами (1,j0) (рис.3.9б). Можно убедиться, что изменение аргумента вектора Найквиста будет равно нулю если АФЧХ W(j) разомкнутой системы не охватывает критическую точку с координатами (-1,j0).
а) б)
Рис. 3.9. К определению критерия Найквиста
Критерий Найквиста для рассматриваемого случая формулируется следующим образом.
Система автоматического управления, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчивой и в замкнутом состоянии, если АФЧХ W(j) разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до не охзватывает критическую точку с координатами (-1, j0).
Особенности возникают, если разомкнутая система нейтрально-устойчива, т.е.
где полином A1(s) имеет все корни в левой полуплоскости. При =0 АФЧХ разомкнутой системы W(j)= и проследить поведение кривой АФЧХ в окрестности этой точки невозможно. При изменении частоты от - до + наблюдается движение корней вдоль мнимой оси снизу вверх и при =0 происходит бесконечный разрыв. При этом движении обойдем нулевой корень (рис.3.10) по полуокружности бесконечно малого радиуса так, чтобы этот корень остался слева, т.е. искусственно отнесем его к левой полуплоскости.
Рис. 3.10. Годограф Найквиста для нейтрально- устойчивой САУ
При движении по этой полуокружности в положительном направлении независимая переменная изменяется по закону
где фаза () изменяется от - / 2 до + / 2. Подставив это выражение в передаточную функцию вместо множителя s в знаменателе, получим
где R при 0 , а фаза () изменяется от + / 2 до - / 2. Следовательно, в окрестности нулевого корня годограф W(j) представляет собой часть окружности бесконечно большого радиуса, движение по которой происходит при увеличении частоты в отрицательном направлении.
Для оценки устойчивости замкнутой системы, если разомкнутая система нейтрально устойчива, необходимо АФЧХ W(j) разомкнутой системы дополнить дугой бесконечно большого радиуса, начиная с меньших частот, в отрицательном направлении и для полученной замкнутой кривой воспользоваться критерием Найквиста для систем, устойчивых в разомкнутом состоянии.