Функции MathCad для решения задач оптимизации.

MathCAD с помощью встроенных функций решается только задача поиска локального экстремума. Чтобы найти глобальный максимум (или минимум), требуется либо сначала вычислить все их локальные значения и потом выбрать из них наибольший (наименьший), либо предварительно просканировать с некоторым шагом рассматриваемую область, чтобы выделить из нее подобласть наибольших (наименьших) значений функции и осуществить поиск глобального экстремума, уже находясь в его окрестности. Второй вариант таит в себе опасность уйти в окрестность другого локального экстремума, но часто может быть предпочтительнее при решении практических задач.

Для поиска локальных экстремумов имеются две встроенные функции, которые могут применяться как в пределах вычислительного блока, так и автономно.

• Minimize (f, x₁, ... ,х_n) – вектор значений аргументов, при которых функция f достигает минимума;

• Maximize (f, x₁, ... ,х_n) – вектор значений аргументов, при которых функция f достигает максимума;

• f(x₁, ... ,х_n)– заданная целевая функция;

• x₁, ... ,х_n – аргументы, по которым производится минимизация(максимизация).

Всем аргументам функции f предварительно следует присвоить некоторые значения, причем для тех переменных, по которым производится минимизация, они будут восприниматься как начальные приближения.

Пример 7. Поиск локального экстремума в окрестности заданной точки.

Найти максимум функции в окрестности точки (4;5).

Ответ: функция имеет максимум, равный 4, в точке(1;1).

Пример 8. Поиск условного экстремума функции.

Найти минимум функции при условиях .

Решение.

1. Задаем целевую функцию, матрицу системы ограничений и вектор правой части этой системы

2. Задаем начальное приближение решения

3. С помощью вычислительного блока находим минимальное значение функции и значение вектора, на котором достигается это значение.

Ответ: минимум функции равен 32.155 и достигается в точке (1,0.623,0.343,1,0.048,1).

Контрольные вопросы.

1. Что значит отделить корень уравнения ?

2. Какие функции могут быть использованы для решения нелинейных уравнений?

3. Опишите конструкцию вычислительного блока.

4. В чем состоит градиентный метод?

5. В чем различие между функциями Find и Minner для решения систем нелинейных уравнений?

6. Где необходимо расположить ограничительные условия при решении задачи оптимизации?

7. Как ограничено число ограничительных условий для решения задачи оптимизации?

Варианты заданий

Вариант 1

1. Решить уравнение , используя встроенные функции root и Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений:

4. Найти максимум функции .

Вариант 2

1. Решить уравнение , , используя встроенные функции root и Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений: .

4. Найти максимум функции при ограничении .

Вариант 3

1. Решить уравнение , , используя встроенные функции root и Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений: .

4. Найти максимум функции при ограничении .

Вариант 4

1. Решить уравнение , , используя встроенные функции root и Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений: .

4. Найти максимум функции .

Вариант 5

1. Решить уравнение , , используя встроенные функции root и Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений: .

4. Найти минимальное и максимальное значения функции .

Вариант 6

1. Решить уравнение , , используя встроенные функции root и Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений: .

4. Найти максимум функции при условиях , , .

Вариант 7

1. Решить уравнение , , используя встроенные функции root и Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений: . Выполнить проверку.

4. Найти минимум функции при условиях , , .

Вариант 8

1. Решить уравнение , , используя встроенные функции root и Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений: . Выполнить проверку.

4. Найти минимум функции при условиях , , .

Вариант 9

1. Решить уравнение , , используя встроенные функции root и Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений: . Выполнить проверку

4. Найти минимум функции при условиях , , .

Вариант 10

1. Решить уравнение, предварительно оделив корни 7, , используя встроенные функции root и Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений:

. Выполнить проверку.

4. Найти минимум функции при условиях , , .