Лабораторная работа № 4

Тема: Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Цель работы: Изучение вычислительных возможностей пакета MathCAD при решении задачи Коши для некоторых типов обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).

Теоретические сведения

ОДУ -го порядка имеет вид:

или ,

где - независимая переменная,- искомая функция,- ее производные. Задача нахождения решения уравнения, удовлетворяющего начальным условиям

называется задачей Коши.

1. Дифференциальные уравнения первого порядка

ОДУ 1-го порядка имеет вид:

или .

Задача Коши для этого уравнения: найти такое решение уравнения, которое удовлетворяет начальному условию .

Уравнение с разделяющимися переменными

ОДУ вида: илиназывается уравнением с разделяющимися переменными, оно приводится к уравнению с разделенными переменными:

,

которое решается почленным интегрированием.

Задача 1. Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию(задача Коши). Изобразите график решения (интегральную кривую, проходящую через точку (0,1)).

Решение:

Разделим в уравнении переменные:

1) Установите режим автоматических вычислений.

2) Установите режим отображения результатов символьных вычислений по горизонтали, установив метку Horizontally в окне диалога строки Evaluation Style меню Symbolics.

3) Введите начальные условия :

4) Определите подынтегральные функциии:

5) Решите уравнение, задающее неявно как функцию переменной:

Given

=

Для решения этого уравнения используется символьный процессор MathCAD (аналогично применению вычислительного блока для численного решения нелинейных уравнений).

Здесь Given-ключевое слово.

Логический знак жирного равенства вводится с палитры Booleans. Завершает блок встроенная функция , после которой следует набрать символьный знак равенства из менюSymbolic (подменю Evaluation):

6) Решение, удовлетворяющее условию :

7) Постройте график найденного решения:

Численный метод Рунге-Кутта решения задачи Коши для оду 1-го порядка

Нахождение точного решения задачи Коши для многих типов ОДУ затруднительно, иногда невозможно, поэтому было создано множество приближенных методов. Один из самых популярных – метод Рунге-Кутта четвертого порядка, дающий приближенное решение в виде таблицы значений этого решения в отдельных точках заданного интервала для независимой переменной . В пакетеMathCAD есть встроенная функция, реализующая этот метод –

,

где - вектор начальных условий (для ОДУ 1-го порядка – это точка,

- границы интервала, на котором ищется решение ДУ,

- число точек (не считая начальной), в которых ищется приближенное решение,

- для системы ОДУ 1-го порядка вектор, состоящий из первых производных неизвестных функций (для ДУ 1-го порядка - это).

Задача 2. Решите на отрезке [0,3] задачу Коши ,методом Рунге-Кутта с постоянным шагом вравностоящих точках отрезка.

Решение:

1) Установите режим автоматических вычислений.

2) Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1:

3) Введите начальное условие:

4) Определите правую часть уравнения :

в равностоящих точках отрезка.

5) Вычислите решение

6) Постройте на одном графике найденные решения: