Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
лекции / лекции по нелинейному ТАРу.doc
Скачиваний:
319
Добавлен:
22.02.2014
Размер:
3.28 Mб
Скачать

Процессы управления и вынужденные колебания в нелинейных системах

ЛЕКЦИЯ 24 Одночастотные вынужденные колебания. Частотные характеристики.

План.

  1. Случай одночастотных вынужденных колебаний.

  2. Пример.

Исследование вынужденных колебаний нелинейных систем представляет собой в общем сложную задачу в связи с отсутствием суперпозиции отдельных решений, а также существенным изменением поведения системы в зависимости от размера амплитуды колебаний, с наличием не единственного установившегося режима и возможностью перескоков с одного режима на другой, с особенностями высших гармоник, субгармоник, комбинационных частот и с многими другими факторами.

В данной лекции мы рассмотрим случай одночастотных вынужденных колебаний, т. е. колебаний нелинейной системы с частотой внешнего периодического воздействия, и найдем условия их существования.

Рассмотрим нелинейную систему с внешним воздействием (рис. 6.1), заданным в виде

F(t) = В sin t. (6.1)

Уравнение динамики системы имеет вид

Решение для вынужденных колебаний будем искать приближенно в форме

где  задано, а неизвестными являются амплитуда а и фаза .

Рис.6.1.

Произведем гармоническую линеаризацию нелинейности:

где коэффициенты q(а) и q’(а) вычисляются для сим­метричных (нечетных) нелинейностей по прежним фор­мулам (4.11), если в них положить  = t+. Для конкретных нелинейностей можно здесь использовать формулы, полученные в лекции 13, 14.

Подставим (6.1), (6.3) u (6.4) в уравнение систе­мы (6.2):

Используем символический метод определения периоди­ческого решения, подставив сюда р = j, а вместо sin t выражение еjt. Тогда полу­чим

или

где

Рис. 6.2.

Уравнение (6.6) с двумя неизвестными а и  можно решить графически, как показано на рис. 6.2. Правая часть (6.6) изображается в виде окружности радиуса В, а левая часть Z(a) строится как кривая по точкам с пе­ременным параметром а. Точки пересечения окружности с кривой Z(a) дают решение, причем величина ампли­туды вынужденных колебаний определяется в точке пересечения по отметкам на кривой Z, а фаза—но вели­чине угла (рис. 6.2).

На рис. 6.2 окружности пересекают кривую только при радиусе большем некоторого порогового значения В >Впор- Следовательно, в этом случае одночастотные вынужденные колебания (6.3) возможны только при

Рис. 6.3.

Pиc.6.4.

достаточно большой амплитуде В, а при меньшей ампли­туде В внешнего воздействия будет иметь место сложное движение, включающее в себя и собственную частоту системы.

Построив серию кривых Z(a) по формуле (6.7) для разных значений частоты внешнего воздействия  (рис. 6.3), можем построить график зависимости поро­гового значения В от частоты , например, в виде, изоб­раженной на рис. 6.4, где а — частота автоколебаний данной системы. Тогда мы получим область значений В и а, в которой существуют одночастотные вынужденные колебания. Эта область называется областью захватывания. Явление захватывания состоит в том, что при В > Впор собственные колеба­ния (автоколебания) срывают­ся и система переходит целиком на одночастотные вынужденные колебания с частотой внешнего воздействия. Строго говоря, эти одночастотные вынужденные колебания будут несинусоидальными. В соответствии со свойством фильтра линейной части (лекция 12) они для перемен­ной х будут только близки к синусоидальным (6.3). Об определении­

Рис. 6.5.

высших гармоник этих колебаний см. [22].

На основании рис. 6.3 можно построить зависимости а() и (), т. е. частотные характеристики замкнутой нелинейной системы по первой гармонике (6.3). В ли­нейных системах частотные характеристики А() и () не зависели от размера входной амплитуды и вычисля­лись для единичной амплитуды на входе. В нелинейной же системе характер частотных характеристик А()=а ()/B и () может существенно зависеть от раз­мера В. Поэтому для разных значений В получается се­рия частотных характеристик (рис. 6.5) замкнутой сис­темы по первой гармонике.

Пример. Пусть уравнение системы имеет вид

при гистерезисной нелинейности (рис. 6.6) и f(t) = B sin t. Тогда в уравнении (6.6), согласно (6.7), бу­дем иметь

Для заданной частоты  = 10 сек -1 и заданных пара­метров системы k = 10, с = 10, b = 4, Т1 = 0,01, T2 =0,02, кривая Z(a) изображена на рис. 6.6, где отмечены

Рис.6.6.

Рис. 6.7.

значения а. Проведя окружности разных радиу­сов В, по точкам пересечения определим зависимости а (В) и (В) (рис. 6.7) для вынужденных колебаний при данной частоте.