18 Особливості загального розв’язку другої задачі динаміки матеріальної точки.

Друга задача: задані сила , а також і . Знайти закон руху точки.

Іншими словами, тут обов'язково задаються положення і швидкість точки в на-чальный момент часу (для простоти ми вважаємо його нульовими).

Розпишемо диференціальні рівняння руху точки в проекціях на декарто-вы осі, причому детальніше, ніж ми робили це раніше:

Рішення задачі зводиться до інтеграції цієї системи диференціальних рівнянь з урахуванням початкових умов.

Значить, друге завдання динаміки значно складніше за перше. Якщо там йшлося про диференціювання заданої функції часу, то тепер йдеться про інтеграцію системи диференціальних рівнянь (як правило, нелінійних). У загальному випадку ця інтеграція не може бути виконана в замкнутій формі. Тоді удаються до чисельного интегриро-ванию (за допомогою комп'ютера); рішення при цьому виходить прибли-женным. Розглянемо послідовність дій у тому випадку, коли ана-литическое рішення задачі все ж виявляється можливим. Зазвичай і для чисельного, і для аналітичного вирішення систему диференціальних рівнянь перетворять до нормальної форми Коші:

Припустимо, нам вдалося в аналітичному виді отримати рішення цієї системи шести диференціальних рівнянь першого порядку.

Загальний розв'язок:

де C1,.,C6 - постійні інтeгрування.

Число цих довільних постійних дорівнює порядку системи.

Для отримання закону руху треба тепер скористатися відомими в ну-левой момент часу положенням і швидкістю точки.

Початкові умови при t=0:

Підставляючи в (∗) і ці початкові умови, отримуємо шість алгебраїчних рівнянь відносно C1,.,C6. Знайшовши їх значення, підставляємо ці значення в (∗) і отримуємо шуканий закон руху.

Зауваження. При рішенні завдань динаміки скованої матеріальної точки треба доповнити рівняння руху рівняннями зв'язків.

29 Імпульс системи. Центр масс.

Імпульсом системи матеріальних точок називається геометрична сума імпульсів усіх точок системи

Центр масс(інерції) системи – це геометрична точка, відносно якої маса всієї системи по всім напрямкам розподілена однаково. Радіус вектор центра мас знаходиться за формулою:

тут m – маса системи, рівна сумі мас усіх її точок.

Продифиренціювавши обидві частини рівності по часу маємо:

Вибравши початок нової, штрихованої системи коорд. так що отримуємо

Отже в системі центра мас .

Імпульс системи матеріальних точок в системі відліку з початком у центрі масс рівний нулю.

Момент імпульса системи

Моментом імпульса системи матеріальних точок називається геометрична сума моментів імпульсів усіх точок системи:

Момент імпульса матеріальної точки, як і момент сили, залежить від вибору початку координат. Втановимо залежніть між моментарними итемми відноно двух різних точок . Так як , з формули моменту імпульу сист. маємо , де - імпуль системи. Момент імпульса не залежить від початку тільки в випадку .

У випадку переходу до штрихованої системи координат початок якої пов'язаний з центром мас ситеми матеріальних точок і яка рухається поступально в початковій нештрихованій системі маємо

, середні члени рівні нулю за означенням центра мас. Остаточно

Момент імпульса довільно рухомої системи розпадається на момент, обчислений в системі центра мас, і момент, що виражає рух системи як цілого.