7. Геометрические аналогии.

Всякое двумерное действительное линейное пространство изоморфно пространству . То есть, фактически, такое изоморфно геометрической плоскости. На рисунке на плоскости изображены базисные векторы и (направленные отрезки), которые задают две пересекающиеся в точке прямые. Каждой точке плоскости соответствует вектор (направленный отрезок) с началом в этой фиксированной точке и концом в точке . В базисе вектор имеет координаты : . Такой базис называют аффинной системой координат на плоскости (в отличие от криволинейных систем координат, например, полярной системы координат). Всю плоскость можно рассматривать как прямую сумму одномерных линейных оболочек, натянутых на и на: . Любая прямая , проходящая через точку , является одномерным подпространством. Проведем на плоскости прямую , не проходящую через точку и параллельную прямой . Пусть – произвольная фиксированная точка на прямой ; она определяет вектор . Заставим точку пробегать всю прямую . Тогда точке соответствует точка , пробегающая всю прямую : //. – это вектор сдвига прямой для получения прямой . Если вместо точки выбрать другую точку , то все точки прямой можно получить точно таким же способом. В этом случае вектором сдвига прямой будет .

Всякое трехмерное действительное линейное пространство изоморфно пространству . То есть, такое пространство изоморфно геометрическому пространству. Как и в случае плоскости, в качестве базиса в геометрическом пространстве можно выбрать направленные отрезки с общим началом в точке . Требуется только, чтобы они не лежали в одной плоскости, и никакие два из них не лежали на одной прямой. Такие задают три пересекающиеся в точке прямые – оси координат. Каждой точке геометрического пространства соответствует вектор . В базисе () . Такой базис называют аффинной системой координат в пространстве (в отличие, например, от сферической или цилиндрической систем координат – криволинейных). Все геометрическое пространство можно рассматривать как . Любая прямая , проходящая через точку , является одномерным подпространством. Прямую , не проходящую через , можно получить сдвигом некоторого одномерного подпространства. Для этого надо найти прямую , параллельную, и проходящую через . Затем надо выбрать произвольную точку . Тогда для любой точки получим где , //. Вместо вектора сдвига можно взять любой другой вектор , где .

Любая плоскость в геометрическом пространстве, проходящая через начало координат , является двумерным подпространством. Обозначим такую плоскость через . Плоскость , не проходящая через , получается сдвигом некоторой , , //. Если выбрать произвольную точку , то для любой точки получим где . В качестве вектора сдвига вместо можно взять любой другой вектор , где .

Пусть теперь – некоторое подпространство абстрактного линейного пространства . Фиксируем произвольный элемент и заставим элементы пробегать все подпространство . Множество всех элементов вида называется плоскостью в (). Подпространство называется направляющим подпространством, а элемент определяет его сдвиг. Если , то и ; если , то , //, . Через будем обозначать одномерное подпространство. называется прямой, проходящей через начало координат в . Можно еще сказать, что является плоскостью размерности 1, проходящей через начало координат. Сдвиг приводит к одномерной плоскости (прямой линии) , возможно не проходящей через начало координат. Через обозначим подпространство размерности . будем называть плоскостью размерности , проходящей через начало координат в . Eё сдвиг на элемент дает некоторую -мерную плоскость , вообще говоря, не проходящую через начало координат в . Если , то можно построить плоскости размерностей . – нулевое подпространство, а – некоторая точка в ; и . называется гиперподпространством, а – гиперплоскостью.

Зададим плоскость в направляющим подпространством и сдвигом на . Если и , где , то вне зависимости от выбранного . Поэтому сдвиг плоскости от начала координат определен неоднозначно. Плоскость можно получить сдвигом ее направляющего подпространства на любой элемент самой плоскости .

Наконец заметим, что в геометрическом пространстве каждой точке соответствовал вектор (направленный отрезок) . Поэтому точки и векторы можно не различать. Элементы абстрактного линейного пространства принято называть векторами; часто называют векторным пространством. Выражения «элемент », «точка », «вектор » означают одно и то же. Поясним это подробнее. Пусть наряду с линейным пространством имеется некоторое множество . Элементы пространства будем называть векторами: , а элементы множества будем называть точками: . Каждой упорядоченной паре точек из поставим в соответствие вектор из ; если паре точек соответствует вектор , то будем писать . Это новое обозначение вектора . Точка называется началом вектора , а точка – его концом. Потребуем выполнения двух условий:

1. Для любой точки и для любого вектора найдется единственная точка такая, что .

2. Если , , то .

.

Описанное множество точек называется аффинным пространством (см. пример 11). Размерностью аффинного пространства называется .

Всякое линейное пространство (пространство векторов) можно рассматривать как пространство аффинное (пространство точек). Для этого надо векторы назвать точками и каждой паре векторов , которые теперь считаются точками множества , сопоставить вектор .

Всякое аффинное пространство (пространство точек) можно рассматривать как линейное пространство(пространство векторов). Для этого надо зафиксировать какую-нибудь точку и произвольной точке поставить в соответствие «радиус-вектор» . Множество всех «радиус-векторов» и будет пространством .

Ясно, что каждой паре совпадающих точек сопоставляется нулевой вектор.

48