1.2.2.2. Источники погрешности

Так как приближённые инженерные расчёты предназначены для непосредственного использования при создании ответственных конструкций и их систем (объектов строительства), возникает проблема оценки достоверности их результатов, иначе – погрешности вычислений. Различают четыре группы источников погрешности.

1. Погрешности округления.

2. Погрешности исходных данных.

3. Погрешности модели.

4. Погрешности методов решения математических задач, созданных в процессе моделирования.

В настоящем спецкурсе рассматриваются погрешности четвёртой группы.

При разработке новых приближённых методов или оценке существующих методов и реализующих их компьютерных программ возникает проблема оценки их качества. В качестве показателей качества естественно принимать некоторые характеристики, оценивающие создаваемые ими погрешности, трудоёмкость подготовки исходных данных и интерпретации результатов расчёта, ожидаемое время счёта и потребность в ресурсах памяти для задач различных типов и размеров. Остановимся на двух концептуальных обстоятельствах, важных для оценки погрешности приближённого метода. Такая оценка всегда связана со сравнением приближённого и точного решений. Первое из указанных обстоятельств может быть охарактеризовано следующим образом.

Показателями качества можно пользоваться, когда они являются элементами упорядоченного множества, с тем, чтобы можно было сравнивать такие показатели для различных методов или параметров методов, а также с допускаемыми величинами. Удобнее всего для этой цели применять числа. Пусть точное решение задачи существует и является числом ; в результате некоторого численного процесса получено приближённое решение . Как известно, в этом случае обычно погрешность характеризуется числом . Таким образом, в этом случае оценка погрешности метода max вполне может быть характеристикой качества метода.

Теперь рассмотрим более сложный случай, когда решение является вектором; точное решение обозначим , приближённое - . Разность векторов уже является числом, а не вектором, и модуль этого вектора не всегда может нас удовлетворить в качестве оценки качества приближения, так как не позволяет проконтролировать погрешность определения отдельных компонент. Иногда это может быть очень важным – например, когда решением является вектор изгибающих моментов в различных сечениях стержня. В то же время контроль отклонения одноимённых координат векторов может быть неоправданно трудоёмким или вообще невыполнимым. Аналогичная ситуация возникает, если решение является функцией (координат и/или времени); при этом тоже возникает проблема целесообразного выбора числового показателя отклонения одной функции от другой.

Второе обстоятельство не связано с тем, какой вид имеют приближённое и точное решения и заключается в том, что точное решение нам не известно (иначе не было бы необходимости применять точный метод). Поэтому метод можно охарактеризовать не погрешностью, а некоторой её оценкой. Обычно это оценка погрешности сверху. Такая оценка должна быть получена в результате анализа метода (либо изучения литературных источников) и исходных данных решаемой задачи.

Таким образом, разработка приближённого метода или его выбор из имеющихся должны быть подчинены требованию: оценка погрешности метода в данной задаче не должна превосходить некоторой заданной величины.

Исходя из этого, цель настоящего спецкурса – сообщить слушателю некоторые основополагающие сведения, необходимые для достижения этой цели.

Другие показатели качества приближённых методов должны изучаться другими средствами в других спецкурсах.