- •1 Матрицы. Виды матриц
- •Специальные матрицы
- •2 Определители. Определение и свойства определителей
- •3.Алгебраическое дополнение и минор
- •4. Теорема (о разложении определителя по строке (столбцу))
- •Теорема об умножении определителей
- •5. Обратная матрица. Теорема об обратной матрице
- •Теорема об обратной матрице
- •6 Поиск обратной матрицы методом союзной матрицы
- •7 Понятие минора k-ого порядка. Ранг матрицы. Понятие базиса в системе строк (столбцов) м-цы. Теорема о ранге м-цы.
- •Ранг матрицы Аm*n – это наивысший порядок отличных от 0 миноров этой матрицы r(a)
- •8 Поиск ранга матрицы методом элементарных преобразований и методом окаймляющих миноров. Метод элементарных преобразований
- •Метод окаймляющих миноров
- •9 Слу. Формы представления слу
- •10 Элементарные преобразования слу
- •11 Теорема Кронекера-Капелли
- •12 Метод Крамера решения слу
- •13 Метод Гаусса решения слу
- •14 Балансовая модель Леонтьева
- •18 Теорема о разделяющей гиперплоскости. Теорема о выпуклости полупространства. Понятие выпуклого многогранника
- •19 Понятие системы линейных неравенств. Графический метод решения ситемы линейных неравенств
- •20Общая постановка змп
- •21 Понятие эпсилон-окрестности точки, предельной точки, замкнутого мн-ва, ограниченного мн-ва, точки локального (глобального) и условного (безусловного) экстремума
- •22 Понятие частной производной ф-ии, стационарной ф-ии, градиента и матрицы Гессе
- •23 Понятие квадратичной формы м-цы. Понятие положительной (отрицательной) определённости матрицы
- •24 Понятие вектор-функции и матрицы Якоби
- •25 Производная по направлению. Теорема о производной по направлению
- •26. Понятие градиента ф-ии. Теорема о градиенте
- •27 Понятия множества уровня ф-ии, касательной гиперплоскости к мн-ву уровня ф-ии, вектора нормали к гиперплоскости
- •28 Формула Тейлора. Разложение Тейлора
- •30 Постановка знлп с огран-ми - рав-ми
- •31 Назначение и обоснование метода множителей Лагранжа
- •32 Схема реализации метода множителей Лагранжа
- •33 Интерпретация мн-лей л. Теорема л.
- •34Метод подстановки решения знлп с ограничениями-равенствами
- •35 Назначение и обоснование обобщенного метода множителей Лагранжа
- •36 Схема реализации обобщенного метода множителей Лагранжа
- •37 Условия Куна- Таккера. Теорема Куна - Таккера. Условие дополняющей нежесткости
- •38 Понятие выпуклой (строго выпуклой) и вогнутой (строго вогнутой) ф-ии. Св-ва выпуклых (вогнутых) ф-ий. З-ча выпукло-вогнутого программирования
- •39 Достаточность условий Куна-Таккера в з-чах выпукло-вогнутого программирования. Т-ма о единств-ти экстр-ма строговыпуклой (строговогнутой) ф-ии
- •40 Метод Куна- Таккера решения задач выпукло-вогнутого программирования. Методы реш-я плохо обусловленных знлп. Теорема Вейерштрасса
- •41 Общая постановка злп и формы её представления. Теорема о эквивалентности форм представления злп
- •42 Понятие угловой точки (вершины) выпуклого многогранника, опорного плана злп. Понятие оптимального плана злп. Понятия вырожденного и невырожденного опорного плана
- •43 Теорема Каратеодори. Теорема о решении злп. Теорема о вершине
- •44 Назначение и обоснование графического метода решения злп
- •45 Графический метод решения злп
- •46 Назначение и обоснование см
- •47 Алгебра см
- •48А Правила пересчёта с-т
- •49 Метод искусственного базиса (м-метод). Назначение м-метода
- •50 Схема реализации м-метода
- •51.Сим.-т для реализации метода искусств.Базиса.
- •52 Понятие двойственной пары злп
- •53 Двойственная лемма. Понятие прямых и двойственных оценок
- •54 Первая, вторая теорема двойственнрсти
2 Определители. Определение и свойства определителей
Инверсия
Перестановка Р некоторых чисел Р={i1,i2 ,...,in} это расположение целых натуральных чисел в произвольном порядке. Например: {1,2,3}; {1,3,2}. Говорят, что в перестановке Р числа ik,il образуют инверсию или непорядок, если число ik больше чем число il для k<l то есть выполняется условие (ik-il)(k-l)<0
I(P) – число инверсий в перестановке Р, например для перестановки Р={1,2,3} число инверсий равно 0 для Р={3,2,1} I(P)=3
Определителем или детерминантом квадратной матрицы An*n наз алгебраическая сумма n! слагаемых каждое из которых представляет собой произведение n элементов матрицы А взятых по одному из каждой строки и каждого столбца с определённым знаком. Обозначается det(A)=│A│=∑i1=1n∑i2=1n...∑in=1na1i1*a2i2*...*anin(-1)I(i1,i2,...in);i1≠i2≠...≠in.
Из определения следует, что определитель матрицы первого порядка будет равен │А1*1│=а11
Определитель матрицы 2 порядка │А2*2│=а11*а22-а12*а21
Определитель матрицы 3 его порядка │А3*3│=а11*а22*а33+а12*а23*а31+а13*а21*а32-а11*а23*а32-а12*а21*а32-а13*а22*а31
Для вычисления определителя 3его порядка, удобно использовать правило Саррюса. Это правило показывает как формируются отдельные слагаемые выражения для определителя матрицы 3его порядка и с каким знаком эти слагаемые необходимо брать.
Замечание
Определители более высоких порядков по формуле (1) считать сложно для этого используются специальные методы вычисления определителей.
Свойства определителей:
1 При транспонировании матрицы её определитель не меняется │Ат│=│А│
2 Если в матрице есть нулевая строка или столбец, то её определитель равен 0
3 При перестановке строк или столбцов матрицы её определитель меняет свой знак на противоположный
4 Если какую-либо строку или столбец матрицы умножить на число λ, то определитель этой матрицы будет равен λ*│А│
5 определитель матрицы не изменится, если к любой его строке или столбцу прибавить другую строку или столбец, умноженную на какое-либо число
3.Алгебраическое дополнение и минор
Минором Мij элемента аij матрицы А наз-ся опр-ль м-цы, полученной из м-цы А вычеркиванием i-той строки и j-того столбца, содержащих эл-т аij.
Главным минором матрицы A наз определитель матрицы составленный из k строк и k 1ых столбцов матрицы A
Минором элемента аij матрицы А наз определитель матрицы, полученный вычёркиванием j-ого столбца i-ой строки Например:
Рассмотрим определитель матрицы А выберем все слагаемые включающие элемент аij и вынесем этот элемент за скобку аij, выражение стоящее в скобках наз алгебраическим дополнением элемента аij матрицы А и обозначается Аij
Теорема (о связи алгебраического дополнения и минора)
Минор Мij элементов аij матрицы А связан с алгебраическим дополнением следующим соотношением: Аij=(-1)i+jMij Т.о. алгебраическое дополнение либо совпадает с минором Мij либо равен – Mij в зависимости от того является ли сумма i+j чётным числом или нечётным