- •1 Матрицы. Виды матриц
- •Специальные матрицы
- •2 Определители. Определение и свойства определителей
- •3.Алгебраическое дополнение и минор
- •4. Теорема (о разложении определителя по строке (столбцу))
- •Теорема об умножении определителей
- •5. Обратная матрица. Теорема об обратной матрице
- •Теорема об обратной матрице
- •6 Поиск обратной матрицы методом союзной матрицы
- •7 Понятие минора k-ого порядка. Ранг матрицы. Понятие базиса в системе строк (столбцов) м-цы. Теорема о ранге м-цы.
- •Ранг матрицы Аm*n – это наивысший порядок отличных от 0 миноров этой матрицы r(a)
- •8 Поиск ранга матрицы методом элементарных преобразований и методом окаймляющих миноров. Метод элементарных преобразований
- •Метод окаймляющих миноров
- •9 Слу. Формы представления слу
- •10 Элементарные преобразования слу
- •11 Теорема Кронекера-Капелли
- •12 Метод Крамера решения слу
- •13 Метод Гаусса решения слу
- •14 Балансовая модель Леонтьева
- •18 Теорема о разделяющей гиперплоскости. Теорема о выпуклости полупространства. Понятие выпуклого многогранника
- •19 Понятие системы линейных неравенств. Графический метод решения ситемы линейных неравенств
- •20Общая постановка змп
- •21 Понятие эпсилон-окрестности точки, предельной точки, замкнутого мн-ва, ограниченного мн-ва, точки локального (глобального) и условного (безусловного) экстремума
- •22 Понятие частной производной ф-ии, стационарной ф-ии, градиента и матрицы Гессе
- •23 Понятие квадратичной формы м-цы. Понятие положительной (отрицательной) определённости матрицы
- •24 Понятие вектор-функции и матрицы Якоби
- •25 Производная по направлению. Теорема о производной по направлению
- •26. Понятие градиента ф-ии. Теорема о градиенте
- •27 Понятия множества уровня ф-ии, касательной гиперплоскости к мн-ву уровня ф-ии, вектора нормали к гиперплоскости
- •28 Формула Тейлора. Разложение Тейлора
- •30 Постановка знлп с огран-ми - рав-ми
- •31 Назначение и обоснование метода множителей Лагранжа
- •32 Схема реализации метода множителей Лагранжа
- •33 Интерпретация мн-лей л. Теорема л.
- •34Метод подстановки решения знлп с ограничениями-равенствами
- •35 Назначение и обоснование обобщенного метода множителей Лагранжа
- •36 Схема реализации обобщенного метода множителей Лагранжа
- •37 Условия Куна- Таккера. Теорема Куна - Таккера. Условие дополняющей нежесткости
- •38 Понятие выпуклой (строго выпуклой) и вогнутой (строго вогнутой) ф-ии. Св-ва выпуклых (вогнутых) ф-ий. З-ча выпукло-вогнутого программирования
- •39 Достаточность условий Куна-Таккера в з-чах выпукло-вогнутого программирования. Т-ма о единств-ти экстр-ма строговыпуклой (строговогнутой) ф-ии
- •40 Метод Куна- Таккера решения задач выпукло-вогнутого программирования. Методы реш-я плохо обусловленных знлп. Теорема Вейерштрасса
- •41 Общая постановка злп и формы её представления. Теорема о эквивалентности форм представления злп
- •42 Понятие угловой точки (вершины) выпуклого многогранника, опорного плана злп. Понятие оптимального плана злп. Понятия вырожденного и невырожденного опорного плана
- •43 Теорема Каратеодори. Теорема о решении злп. Теорема о вершине
- •44 Назначение и обоснование графического метода решения злп
- •45 Графический метод решения злп
- •46 Назначение и обоснование см
- •47 Алгебра см
- •48А Правила пересчёта с-т
- •49 Метод искусственного базиса (м-метод). Назначение м-метода
- •50 Схема реализации м-метода
- •51.Сим.-т для реализации метода искусств.Базиса.
- •52 Понятие двойственной пары злп
- •53 Двойственная лемма. Понятие прямых и двойственных оценок
- •54 Первая, вторая теорема двойственнрсти
1 Матрицы. Виды матриц
Числовой матрицей Аm*n наз прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов
Числа, определяющие матрицу наз её элементами
аij матрицы находится в i-ой строке и j-ом столбце, номера которых указывают индексы элементов: i-индекс строки, j-индекс столбца
Говорят, что матрица Am*n имеет размер m*n Если размер матрицы ясен из контекста, то индекс её размера опускается и т.о. матрицы обозначаются прописными буквами A,B,C…
Специальные матрицы
Матрица, имеющая 1 строку и 1 столбец наз матрицей-скаляром
Матрица, имеющая только 1 строку наз вектор-строкой
Матрица, имеющая только 1 столбец наз вектор-столбцом
Матрица, у которой число строк и столбцов совпадает называют квадратной. Элементы квадратной матрицы, лежащие на линии, проведённой из левого верхнего угла в правый нижний угол называют элементами главной диагонали. Элементы квадратной матрицы лежащие на линии проведённой из верхнего правого угла в левый нижний угол наз элементами побочной диагонали. У элементов главной диагонали, индексы столбца и строки совпадают между собой:
aii-элементы главной диагонали i=1 ,m
ai,m-i+1 – элементы побочной диагонали i=1,m
Произвольная матрица, все элементы которой равны 0 наз нулевой матрицей и обозначается O
Квадратная матрица, все элементы которой равны 0, за исключением элементов главной диагонали, которые равны1 наз единичной матрицей и обозначается E.
Операции над матрицами
Матрицы можно сравнивать.
Говорят, что матрица A больше (меньше) матрицы B (пишут A>B (A<B)), если матрицы имеют одинаковый размер и при этом aij>bij i=1,m, j=1,n (aij<bij i=1,m, j=1,n)
Операция сложения определена для любых двух матриц, имеющих одинаковый размер. Суммой С матриц А,В наз матрица А+В элементы которой определены соотношением: cij=aij+bij i=1,m j=1,n
Свойства:
А+В=В+А – коммутативность
(А+В)+С=А+(В+С) – ассоциативность
А+0=0+А=А
Умножение матриц на число любая матрица А может быть умножена на произвольное число α, как слева так и справа в результате получается матрица С=αА=Аα, элементы которой определяются соотношением cij=αaij i=1,m j=1,n
Свойства:
α(А+В)=αА+αВ
α(βА)=(αβ)А
Операция вычитания определена для матриц одинакового размера. Разностью С=А-В матриц А и В наз матрица С=А+(-1)В
Матрицу А можно умножить слева на матрицу В тогда и только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы, в результате получаем матрицу С=А*В, которая имеет столько столбцов сколько второй сомножитель матрицы В. Элементы произведения матриц определяются по формуле: сij=∑k=1naik*bkj, то есть элемент cij является результатом взаимодействия i-ой строки матрицы А и j-ого столбца матрицы В.
Свойства операции умножения матриц:
(А*В)С=А(ВС)
(А+В)С=АС+ВС
А*Е=Е*А=А
А*0=0*А=0
А*В≠В*А
Матрица для которой А*В=В*А наз коммутативным или перестановочными
Операция возведения в степень определена для квадратных матриц. k-ой степенью Аk матрицы А, где k-показатель степени k-целое число (неотрицательное) наз результат умножения матрицы А саму на себя k раз.
E, если k=0
Ak=
Ak-1*A, k>0
Свойства:
Аk*Al=Ak+l
(Аk)l=Akl
Операция транспонирования определена для любых матриц. Транспонированной матрицей Ат наз матрица строками которой являются столбцы матрицы А, а столбцами - строки этой матрицы
Свойства:
(А+В)т = Ат+Вт
(А*В)т = Вт*Ат
(Ат)т = А
В специальный класс операций над матрицами выделяются следующие операции, называемые элементарными преобразованиями матриц:
1) умножение строки (столбца) матрицы на число ≠ 0
2)прибавление к элементам строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой её строки (столбца), умноженных на произвольное число
3) перестановка строк (столбцов) матриц
Замечание 1.1
Любое элементарное преобразование матрицы может быть осуществлено последовательностью операций произведения этой матрицы на матрицы специального вида.