[Править] Число граней n-тетраэдра

Тетраэдр имеет N+1 вершин, каждая из которых соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.

Поскольку все вершины тетраэдра соединены между собой, то тем же свойством обладает и любое подмножество его вершин. Это значит, что любое подмножество из L+1 вершин тетраэдра определяют его L–мерную грань, и эта грань сама является L–тетраэдром. Тогда для тетраэдра число L-мерных граней равно числу способов выбрать L+1 вершину из полного набора N+1 вершин.

Обозначим символом К(L,N) число L–мерных граней в N–многограннике, тогда для N-тетраэдра

где – число сочетаний из n по m.

В частности, число граней старшей размерности равно числу вершин и равно N+1:

[Править] Стандартный симплекс

Зелёный треугольник — стандартный 2-симплекс

Стандартный n-симплекс это подмножество , определяемое как:

Его вершинами являются точки:

e₀=(1, 0, … 0)

e₁=(0, 1, … 0)

…

e_N=(0, 0, … 1)

Существует каноническое взаимно-однозначное отображение стандартного N-симплекса в N-тетраэдр с координатами вершин :

Значения t_i для данной точки называются её барицентрическими координатами.

[Править] Геометрические свойства

N-тетраэдр называется правильным, если все его рёбра имеют одинаковую длину: например, правильный треугольник. Правильный тетраэдр всегда является правильным политопом.

Ориентированный объём N-тетраэдра в N-мерном евклидовом пространстве можно определить по формуле:

Определитель Кэли-Менгера позволяет вычислить объём тетраэдра, зная длины его рёбер:

где d_ij = | v_i − v_j | — расстояние между i-й и j-й вершинами, N — размерность пространства. Эта формула — обобщение формулы Герона для треугольников.

Объём правильного N-тетраэдра с единичной стороной равен ,

[Править] Формулы для правильного n-тетраэдра

Число L-мерных граней
Высота
Объём
Радиус описанной сферы
Радиус вписанной сферы
Двугранный угол

Несколько полезных соотношений

Пример задачки на симплекс-метод

Рассмотрим простой пример решения задачки с помощью симплекс-метода для запоминания последовательности действий.

Некая компания производит большие и маленькие садовые скамейки. Каждая скамейка должна быть построена и отполирована. На постройку маленькой скамейки уходит 2 часа, на полировку 3 часа. На постройку большой уходит 4 часа, на полировку 3 часа. Строительный цех работает 100 часов в неделю, а полировочный 90. Прибыль, получаемая с маленькой скамейки составляет 5$, а с большой 7$. Сколько скамеек каждого вида должна производить компания для максимизации прибыли?

Пусть фирма производит X маленьких и Y больших скамеек. Тогда для решения задачи необходимо найти такие X и Y, что:

5X + 7Y - > max 2X + 4Y < = 100 3X + 3Y < = 90, X , Y > = 0

Введем переменные S1, S2 >= 0, тогда задача примет стандартный (канонический) вид: 5X + 7Y +0S1 + 0S2 - > max 2X + 4Y +1S1 + 0S2 = 100 3X + 3Y +0S1 + 1S2 = 90, X , Y, S1, S2 > = 0

Рассмотрим решение этой задачи, используя симплекс таблицу. Данное решение подходит для всех случаев, когда правая часть уравнений ограничений неотрицательна (90 и 100 в нашем примере). Если правая честь уравнений ограничений, после приведения задачи к каноническому виду, содержит отрицательные числа, то используйте вариант решения, разобранный во втором примере.

Составим симплекс-таблицу:

1 шаг: В строке Cj выписываем коэффициенты целевой функции при переменных X, Y, S1, S2. В строках 1,2 - коэффициенты при соответсвующих переменных из уравнений ограничений. RHS (столбец right hand side :-) ) , в строках 1, 2 пишем числа 100 и 90 из правой части неравенств ограничений. Переменные, образующие единичную матрицу будем называть базисными, в данном случае S1 и S2.

2 шаг: Заполняем столбец CB строки 1, 2 коэффициентами целевой функции при базисных переменных, то есть 0 при S1 в строке 1 (пересечение строки 1 и столбца S1) и 0 при S2 в строке 2.

3 шаг: заполняем строку 3 (Zj) путем перемножения каждого элемента столбца CB на соответствующие элементы строк 1, 2 и сложением. То есть первый элемент строки Zj получается как: 0*2 + 0*3 = 0. В данном случае все элементы строки получаются равными 0. Аналогично получается 0 в столбце RHS.

4 шаг: строка 4 (Cj - Zj) получается почленным вычитанием элементов строки 3 (Zj) из элементов строки Cj (всегда из верхней строки на всех шагах).

5 шаг: Ищем в строке 4 (Cj - Zj) МАКСИМАЛЬНЫЙ СТРОГОПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ элемент. Ему соответствует ведущий стролбец. В данном случае, в строке 4 выбираем элемент 7, следовательно ведущим будет столбец Y (строки 1,2).

6 шаг: Ищем в ведущем столбце МИНИМАЛЬНО ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ число из формулы (RHS/ведущий столбец). То есть, в данном случае, выбираем между 100/4=25 и 90/3=30. Найдя такое число, определяем ведущую строку, у нас строка 1. Пересечение ведущих столбца и строки дает нам ведущий элемент, в нашем случае 4.

7 шаг: Формируем строки 5, 6 путем деления ведущей строки на ведущий элемент и формирования единичного столбца на месте ведущего). Не забываем RHS. Далее следуем на шаг 2.

Итерации продолжаются до тех пор, пока в строке (Cj - Zj) не останется положительных элементов (в случае, что оптимальное решение задачи существует).

Тогда в строке Zj (у нас строка 11) в RHS - столбце получим значение целевой функции в оптимальной точке (X, Y) = (10, 20). Значения 10 и 20 получаем из RHS в строках 9, 10.

Двойственный симплекс-метод.

Двойственный симплекс-метод, как и симплекс-метод, используется при нахождении решения задачи линейного программирования, записанной в форме основной задачи, для которой среди векторов , составленных из коэффициентов при неизвестных в системе уравнений, имеется m единичных. Вместе с тем двойственный симплекс–метод можно применять при решении задачи линейного программирования, свободные члены системы уравнений которой могут быть любыми числами (при решении задачи симплексным методом эти числа предполагались неотрицательными). Такую задачу и рассмотрим теперь, предварительно предположив, что единичными являются векторы т. е. рассмотрим задачу, состоящую в определении максимального значения функции

(54)

при условиях

(55)

(56)

где

и среди чисел имеются отрицательные.

В данном случае есть решение системы линейных уравнений (55). Однако это решение не является планом задачи (54) – (56), так как среди его компонент имеются отрицательные числа.

Поскольку векторы – единичные, каждый из векторов можно представить в виде линейной комбинации данных векторов, причем коэффициентами разложения векторов по векторам служат числа Таким образом, можно найти

Определение 14.

Решение системы линейных уравнений (55), определяемое базисом , называется псевдопланом задачи (54) – (56), если для любого

Теорема 11.

Если в псевдоплане , определяемом базисом , есть хотя бы одно отрицательное число такое, что все , то задача (54) – (56) вообще не имеет планов.

Теорема 12.

Если в псевдоплане , определяемом базисом , имеются отрицательные числа такие, что для любого из них существуют числа a_ij<0, то можно перейти к новому псевдоплану, при котором значение целевой функции задачи (54) – (56) не уменьшится.

Сформулированные теоремы дают основание для построения алгоритма двойственного симплекс-метода.

Итак, продолжим рассмотрение задачи (54) – (56). Пусть – псевдоплан этой задачи. На основе исходных данных составляют симплекс-таблицу (табл. 15), в которой некоторые элементы столбца вектора являются отрицательными числами. Если таких чисел нет, то в симплекс-таблице записан оптимальный план задачи (54) – (56), поскольку, по предположению, все . Поэтому для определения оптимального плана задачи при условии, что он существует, следует произвести упорядоченный переход от одной симплекс–таблицы к другой до тех пор, пока из столбца вектора не будут исключены отрицательные элементы. При этом все время должны оставаться неотрицательными все элементы (т +1)–й строки, т.е. для любого

Таким образом, после составления симплекс-таблицы проверяют, имеются ли в столбце вектора отрицательные числа. Если их нет, то найден оптимальный план исходной задачи. Если же они имеются (что мы и предполагаем), то выбирают наибольшее по абсолютной величине отрицательное число. В том случае, когда таких чисел несколько, берут какое–нибудь одно из них: пусть это число b_l. Выбор этого числа определяет вектор, исключаемый из базиса, т. е. в данном случае из базиса выводится вектор P_l. Чтобы определить, какой вектор следует ввести в базис, находим , где

Пусть это минимальное значение принимается при , тогда в базис вводят вектор Р_r. Число является разрешающим элементов. Переход к новой симплекс–таблице производят по обычным правилам симплексного метода. Итерационный процесс продолжают до тех пор, пока в столбце вектора Р₀ не будет больше отрицательных чисел. При этом находят оптимальный план исходной задачи, а следовательно, и двойственной. Если на некотором шаге окажется, что в i–й строке симплекс–таблицы (табл. 15) в столбце вектора Р₀ стоит отрицательное число b_i, а среди остальных элементов этой строки нет отрицательных, то исходная задача не имеет решения.

Таким образом, отыскание решения задачи (54) – (56) двойственным симплекс-методом включает следующие этапы:

1. Находят псевдоплан задачи.

2. Проверяют этот псевдоплан на оптимальность. Если псевдоплан оптимален, то найдено решение задачи. В противном случае либо устанавливают неразрешимость задачи, либо переходят к новому псевдоплану.

3. Выбирают разрешающую строку с помощью определения наибольшего по абсолютной величине отрицательного числа столбца вектора Р₀ и разрешающий столбец с помощью нахождения наименьшего по абсолютной величине отношения элементов (m+1)–и строки к соответствующим отрицательным элементам разрешающей строки.

4. Находят новый псевдоплан и повторяют все действия начиная с этапа 2.

Таблица 15

Пример 17.

Найти максимальное значение функции при условиях

Решение. Запишем исходную задачу линейного программирования в форме основной задачи: найти максимум функции при условиях

Умножим второе и третье уравнения системы ограничений последней задачи на –1 и перейдем к следующей задаче: найти максимум функции

(57)

при условиях

(58)

(59)

Составим для последней задачи двойственную задачу. Такой является задача, в результате решения которой требуется найти минимальное значение функции

(60)

при условиях

(61)

(62)

Выбрав в качестве базиса векторы и , составим симплексную таблицу (табл. 16) для исходной задачи (57) – (59).

Таблица 16

i	Базис	Сб	Р0	1	1	2	0	0
				P1	P2	P3	p4	p5
1 2 3 4	p3 P4 p5	2 0 0	8 –4 –6 16	1 –1 –1 1	1 1 –2 1	1 0 0 0	0 1 0 0	0 0 1 0

Из этой таблицы видим, что планом двойственной задачи (57) – (59) является . При этом плане Так как в столбце вектора Р₀ таблица 16 имеются два отрицательных числа (–4 и –6), а в 4–й строке отрицательных чисел нет, то в соответствии с алгоритмом двойственного симплекс–метода переходим к новой симплекс–таблице. (В данном случае это можно сделать, так как в строках векторов Р₄ и Р₅ имеются отрицательные числа. Если бы они отсутствовали, то задача была бы неразрешима. Вектор, исключаемый из базиса, определяется наибольшим по абсолютной величине отрицательным числом, стоящим в столбце вектора Р₀. В данном случае это число –6. Следовательно, из базиса исключаем вектор Р₅. Чтобы определить, какой вектор необходимо ввести в базис, находим где Имеем

Значит, в базис вводим вектор P₂. Переходим к новой симплекс–таблице (табл. 17).

Таблица 17

i	Базис	Сб	Р0	1	1	2	0	0
				P1	P2	P3	p4	p5
1 2 3 4	p3 P4 p2	2 0 1	5 –7 3 13	1/2 –3/2 1/2 1/2	0 0 1 0	1 0 0 0	0 1 0 0	1/2 1/2 –1/2 1/2

Из этой таблицы видно, что получен новый план двойственной задачи При этом плане значение ее линейной формы равно Таким образом, с помощью алгоритма двойственного симплекс–метода произведен упорядоченный переход от одного плана двойственной задачи к другому.

Так как в столбце вектора Р₀ таблицы 17 стоит отрицательное число –7, то рассмотрим элементы 2–й строки. Среди этих чисел есть одно отрицательное –3/2. Если бы такое число отсутствовало, то исходная задача была бы неразрешима. В данном случае переходим к новой симплекс-таблице (табл. 18).

Таблица 18

i	Базис	Сб	Р0	1	1	2	0	0
				P1	P2	P3	p4	p5
1 2 3 4	p3 P1 p2	2 1 1	8/3 14/3 2/3 32/3	0 1 0 0	0 0 1 0	1 0 0 0	1/3 –2/3 1/3 1/3	2/3 –1/3 –1/3 2/3

Как видно из таблицы 18, найдены оптимальные планы исходной и двойственной задач. Ими являются и . При этих планах значения линейных форм исходной и двойственной задач равны между собой:

Пример 18.

Найти максимальное значение функции при условиях

Решение. Умножая первое и третье уравнения системы ограничений задачи на –1, в результате приходим к задаче нахождения максимального значения функции при условиях

Взяв в качестве базиса векторы Р₃, Р₄ и Р₅, составляем симплекс-таблицу (табл. 19).

Таблица 19

i	Базис	Сб	Р0	2	3	0	5	0
				P1	P2	P3	p4	p5
1 2 3 4	p3 P4 p5	0 5 0	–12 10 –18 50	2 1 –3 3	–1 2 2 7	1 0 0 0	0 1 0 0	0 0 1 0

В 4-й строке таблице 19 нет отрицательных чисел. Следовательно, если бы в столбце вектора Р₀ не было отрицательных чисел, то в таблице 19 был бы записан оптимальный план. Поскольку в указанном столбце отрицательные числа имеются и такие же числа содержатся в соответствующих строках, переходим к новой симплекс–таблице (таблица 20). Для этого исключим из базиса вектор Р₅ и введем в базис вектор Р₁. В результате получим псевдоплан X=(6;0;-24;4)

Таблица 20

i	Базис	Сб	Р0	2	3	0	5	0
				P1	P2	P3	p4	p5
1 2 3 4	p3 P4 p1	0 5 2	–24 4 6 32	0 0 1 0	1/3 8/3 –2/3 9	1 0 0 0	0 1 0 0	2/3 1/3 –1/3 1

Так как в строке вектора Р₃ нет отрицательных чисел, то исходная задача не имеет решения.