4 Построение матрицы функций модальной чувствительности

Характеристический полином замкнутой системы выглядит следующим образом:

Желаемые корни:

Из уравнения , где находится матрица

Обратная матрица:

.

Вычислим функции модальной чувствительности () с помощью соотношений:

, ;

, ;

, ;

, ;

, .

Сконструируем матрицу функций модальной чувствительности в виде функций чувствительности вещественной и мнимой частей:

, причем

Для выделения неблагоприятного сочетания вариаций параметров воспользуемся сингулярным разложением матрицы модальной чувствительности:

, ,

.

Зададимся сферой с тем, чтобы все вариации параметров ограничить числом 0,5 – пределы применимости теории чувствительности.

Введем наиболее неблагоприятное сочетание вариаций параметров, задаваемое вектором-столбцом матицы , соответствующим максимальному сингулярному числу:

,

а также наиболее благоприятное сочетание вариаций параметров, задаваемое вектором-столбцом матицы , соответствующим минимальному сингулярному числу:

5 Получение вмо ноу с интервальными параметрами

Необходимо получить ВСВ НОУ с интервальными матричными компонентами в форме:

где

с использованием интервальной арифметики на основе интервальной реализации параметров , записываемых в форме

при следующих граничных (угловых) значениях:

В пункте 1 было получено представление НОУ в виде ВСВ:

, , .

Однако в данном случае матрица В также зависит от q, а необходимо стремиться к тому, чтобы интервальной была бы только матрица состояния НОУ. Поэтому управление принимается за дополнительную переменную состояния, и вводится буферная система:

,

где v – новое управление. Тогда матрицы описания агрегированной системы будут выглядеть следующим образом:

Матрица с интервальными параметрами выглядит следующим образом:

Далее воспользуемся формулами интервальной арифметики:

Тогда окончательно интервальная матрица состояния имеет вид:

Граничные значения матрицы получаются с помощью компоновки экстремальных значений каждой её составляющей.

, .

Медианное значение интервальной матрицы находятся как полусумма угловых значений:

.

_{Интервальный матричный компонент:}

_{Окончательно имеем следующее описание:}

где

6 Синтез закона медианного модального управления

Необходимо синтезировать закон медианного модального управления, базовый алгоритм которого дополняется контролем нормы медианной составляющей интервальной матрицы спроектированной системы с последующим вычислением оценки , вычислить матрицы k_g и k.

Закон управления (ЗУ) вида u(t)=k_gg(t)-kx(t) должен доставлять системе

образованной объединением НОУ и ЗУ равенство входа g(t) и выхода y(t) в неподвижном состоянии при номинальных значениях параметров с помощью:

-матрицы k_g прямой связи по входу g(t);

- матрицы k обратной связи по состоянию x(t)

распределение мод Баттерворта с характеристической частотой , которая гарантирует достижение значение оценки относительной интервальности матрицы состояния системы не больше заданной .

Выберем желаемый полином Баттерворта следующим образом:

Формирование эталонной модели:

Матрица составляется, исходя из требуемого распределения мод:

, ;

,

.

Матрица выбирается из условия полной наблюдаемости пары и :

.

Решим задачу медианного МУ с помощью уравнения Сильвестра:

,

.

Формирование медианной составляющей интервальной матрицы :

, ,

Проверка выполнения условия :

.

Таким образом, на частоте достигается требуемая относительная интервальность матрицы состояния системы.

Формирование закона управления:

, .

, .

Закон управления имеет вид:

.

Реализационная версия этого закона имеет вид:

.

_{Схема моделирования замкнутой системы приведена на рисунке 9, переходные процессы – на рисунке 10.}

Рисунок 10 – Схема моделирования замкнутой системы

Рисунок 11 – Переходная характеристика для медианного, максимального и минимального набора параметров

Влияние вариаций параметров в пределах заданного интервала на показатели качества системы отражено в таблице 2.

Таблица 2 - Влияние вариаций параметров в пределах заданного интервала на показатели качества системы

Матрица состояния
	2	8	0	0
	4.35	27	117.5	237.5
	1.32	0	34	100

Проверим робастность системы с помощью метода Харитонова.

Матрица имеет вид:

Характеристический полином:

Полиномы Харитонова:

Корни полиномов Харитонова:

Поскольку действительные части корней всех полиномов Харитонова отрицательны, полиномы гурвицевы и характеристический полином системы гурвицев при отклонениях параметров в заданных границах, следовательно, система робастно устойчива.