3.1 Вопросы для самопроверки

1. В чем суть формулы интегрирования по частям?

2. Какие типы интегралов находятся по данной формуле? Почему?

3. В каких случаях формула интегрирования по частям применяется несколько раз и почему?

4. Чем определяется выбор ?

3.2 Примеры для самостоятельного решения

1. 2.

3. 4.

4 Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен

Рассмотрим интегралы следующих видов:

; .

;

Мы увидим в дальнейшем, что без умения находить такие интегралы, мы не сможем вычислять интегралы от рациональных дробей.

Сначала научимся находить более простые интегралы видов и .

Трудность заключается в наличии слагаемого bx. Если бы его не было, то, вынося за знак интеграла , получили бы интеграл вида (11) или (12). Решить проблему можно выделением полного квадрата.

Пример 21. Пример 22.

.

Пример 23.

.

По той же схеме находятся интегралы вида

и

С помощью таких же действий, что и в предыдущих случаях, указанные интегралы сводятся к табличным. При этом в первом случае возникают табличные интегралы вида:

и .

Пример 24.

.

4.1 Вопросы для самопроверки

1. Какие виды интегралов, содержащие квадратный трехчлен в знаменателе, вы знаете?

2. К каким табличным интегралам сводятся после выделения полного квадрата интегралы вида и ?

3. По какому принципу интегралы вида и разбиваются на два интеграла?

4.2 Примеры для самостоятельного решения

1. , 2. ,

3. , 4. .

5 Интегрирование рациональных дробей

Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных степенях) и квадратичных сомножителей с отрицательными дискриминантами (возможно в целых степенях). Известен алгебраический результат о том, что такое представление всегда возможно.

.

Вообще говоря, получение такого представления для многочленов высоких степеней является сложной задачей. Мы в дальнейшем будем считать, что знаменатель уже представлен в таком виде. Известен алгебраический результат, что любая правильная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей, интегралы от которых легко находятся. При этом каждому линейному сомножителю вида в знаменателе соответствует группа простейших дробей вида

.

В частности при имеем только одно слагаемое: .

Каждому квадратичному сомножителю соответствует группа дробей вида

,

а при - одно слагаемое .

Рассмотрим примеры разложения правильной дроби на простейшие:

Пример 25. .

Пример 26. .

Пример 27.

.

Пример 28. .

Пример 29. .

Теоретически гарантируется, что все выписанные разложения справедливы. Остается научиться находить постоянные А, В, С … . Предположим, что указанные константы найдены. Тогда интегрирование правильной дроби сведется к нахождению интегралов вида

I , III ,

II , IV .

Интегралы I и II видов табличные, интегралы III вида рассмотрены в предыдущей теме, интегралы IV вида вычисляются по той же схеме, что и III вида, но в отличие от них после выделения полного квадрата возникают интегралы вида , которые находятся по рекуррентной формуле:

.

Перейдем к рассмотрению конкретных примеров вычисления интегралов от правильных рациональных дробей. Сначала рассмотрим наиболее простой случай, когда знаменатель содержит только некратные линейные множители.

Пример 30. .

После приведения к общему знаменателю получим следующее тождество для числителей:

.

Этим тождеством мы и воспользуемся для нахождения коэффициентов А, В и С.

Если в данном тождестве в качестве взять конкретное значение, то получим линейное уравнение относительно А, В и С. Таких уравнений нам нужно три. Полученную систему можно решить, например, методом Гаусса. Однако можно гораздо легче найти коэффициенты, если в качестве брать не произвольные числа, а корни линейных сомножителей в знаменателе. При этом в правой части тождества будет присутствовать только один из неизвестных коэффициентов.

В результате получим:

.

Если знаменатель содержит квадратичные сомножители, то всегда нужно проверять, не будет ли D неотрицательным. Если да, то лучше разбить его на линейные сомножители.

Пример 31.

.

Завершите самостоятельно вычисление данного интеграла.

Перейдем к рассмотрению чуть более сложного случая, когда знаменатель содержит только линейные сомножители, причем некоторые из них кратные.

Пример 32.

.

Положив последовательно и , легко найдем два неизвестных коэффициента:

Остальные два найдем, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях левой и правой частей тождества:

Тогда

.

Рассмотрим теперь случай, когда знаменатель содержит некратные квадратичные сомножители с отрицательным дискриминантом.

Пример 33. .

.

Положим :

Остальные неизвестные найдем, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях:

Тогда

.

Первый из этих интегралов табличный, а второй вида III. Доведите до конца решение этого примера самостоятельно.

И, наконец, рассмотрим наиболее сложный случай, когда знаменатель содержит кратные квадратичные сомножители с отрицательным дискриминантом.

Пример 34. .

.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях.

Итак, исходный интеграл разбился на два интеграла:

.

Решим каждый из них отдельно.

.

.

.

Итак,

.