13. Уравнение Лагранжа II рода

Из формулы :

Связи идеальные:

Силы только потенциальны:

(кинетический потенциал, функция Лагранжа)

Обыкновенное однородное ДУ 2-го порядка (с нулевой правой частью):

“2S”

Число уравнения равно числу степеней свободы.

4. Виртуальная работа

Виртуальная работа – работа сил на виртуальных перемещениях системы

Пусть система материальных точек занимает в некоторый момент

времени t какое-то положение. Обозначим через F_k силы, приложенные к точкам системы. Из данного положения при фиксированном времени t, сообщим системе виртуальное перемещение δr_k. Будем считать, что на этом перемещении силы F_k, приложенные к системе, не изменяются.

Составим сумму работ этих сил на вирт. перемещении δr_k

14. Интеграл движения: обобщенный интеграл движения

f (где С - константа)

Интеграл системы уравнений (1), или интегралом движения, или первым интегралом, если при подстановке вместо решений системы (1), функция f обращается в константу.

Системы уравнений (1) может иметь не более “2S” – первых интегралов.

Первые интегралы уравнений Лагранжа II-го рода бывают 2-х видов:

1)Обобщенные интегралы энергии.

2)Циклический интеграл.

L от времени не зависит

(2) - обобщенный интеграл энергии или интеграл Якоби

Допущение:

- обычный интеграл

Консервативная система – система, которая обладает обычным интегралом энергии.

Из (2) сумма отбрасывается: первый интеграл получается из (2):

6. Принцип возможных перемещений

При равновесии механической системы с идеальными связями, виртуальная работа всех активных сил равна нулю.

- Система будет находиться в равновесии.

В положении равновесия все обобщенные силы равны нулю

Теорема: Для того чтобы система материальных точек, подчиненная идеальным стационарным, голономным и удерживающим связям, находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы работа всех активных сил на любом виртуальном перемещении системы и скорости всех точек в начальный момент времени равнялись нулю.

15. Интеграл движения: циклические интегралы

f (где С - константа)

Интеграл системы уравнений (1), или интегралом движения, или первым интегралом, если при подстановке вместо решений системы (1), функция f обращается в константу.

Системы уравнений (1) может иметь не более “2S” – первых интегралов.

Первые интегралы уравнений Лагранжа II-го рода бывают 2-х видов:

1)Обобщенные интегралы энергии.

2)Циклический интеграл.

Циклическая координата – обобщенная координата, которая не входит в функцию Лагранжа, но входит явно в соответствующая ей обобщенная скорость

- циклическая координата

Позиционные координаты – обобщенные координаты, которые явно входят в функцию Лагранжа.

Из (1) для циклической координаты:

- циклическинтеграл

16. Канонические переменные. Функция Гамильтона

Если ввести “S” новых переменных и предположить, что эти зависимости могут быть разрешены относительно обобщенных скоростей , то система уравнений приводится к системе “2S” ДУ 1-го порядка.

- форма Лагранжа; - переменные Лагранжа.

- форма Гамильтона; y, z – переменные Гамильтона

- “2S” переменные Гамильтона

- функция Гамильтона -- это

характеристическая функция механической системы, выраженная через канонические переменные: обобщенные координаты и обобщенные импульсы

Можно показать, что , тогда функция Гамильтона

Для стационарных задач (допущение):

,

допущение (частный случай):

- Совпадает с обобщенным интегралом энергии.

29. Формула Циолковского для многоступенчатой ракеты

а) n-ступеней

б)

в) -число циолковского

17. Канонические уравнения Гамильтона

Канонические уравнения:

(1)

Система “2S” ДУ 1-го порядка (1) эквивалентна системе “S” ДУ 2-го порядка

Канонические уравнения Гамильтона:

18. Уравнения свободных колебаний системы с одной степенью свободы

= 0 | /m

Т.к. λ = mg / C

При t=0:

19. Уравнения вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы: силовое возбуждение колебаний

Силовое возбуждение колебаний происходит под действием внешней периодической силы P

Подставим в :

Если , то наступит резонанс. Если не равны, то резонанса не будет. Резонанс -- явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний в какой-либо колебательной системе

20. Уравнения вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы: кинематическое возбуждение колебаний

Кинематическое возбуждение колебаний происходит под действием внешнего периодического смещения системы.

Подставим в :

21. Свободные колебания системы с одной степенью свободы с затуханием

- десепативная функция Релея (функция рассеивания системы)

(1)

а) малое сопротивление колебаний

- частота собственных затухающих колебаний

– логарифмический декремент (затухание) колебаний. ψ- коэффициент затухания

б) сильное сопротивление колебаний

Из (1) получим:

в) n=k

Будут апериодические колебания( в которых нельзя выделить полный период колебаний)

22. Малые свободные колебания систем с 2 степенями свободы. Парциальные частоты

в равновесии

Парциальная система – условная колебательная система с одной степенью свободы, которая соответствует одной из обобщенных координат.

а_ij- инерционные коэффициенты

с_ij- коэффициенты жесткости

- парциальные частоты

23. Малые свободные колебания систем с 2 степенями свободы. Нормальные координаты

Из уравнения Лагранжа II рода:

Чтобы найти AB0:

k – частота собственных колебаний

Нормальные координаты:

- нормальные (главные) координаты

27. Задача Циолковского

(1)

- реактивная сила

-расчет тяги

S- площадь сопла,

p(x)- давление атмосферное, р- давление газа.

Из (1):

Ракета летит в пустоте:

(2)

- эффективная скорость истечения

Из (2):

- силы тяготения

26. Поступательное движение твердого тела переменной массы. Уравнение Мещерского

Тело переменной массы – тело, масса которого изменяется вследствие отделения или присоединения к телу материальных точек (частиц). Допущения:

1) Рассматриваются только отделение частиц

2) Массы отделяющихся частиц малы

3) Частицы отделяются последовательно

4) Время отделения частиц мало

Т.к. процесс отсоединения частиц непрерывный, то является величиной непрерывной и дифференциальной.

5) Все точки движутся одинаково, т.к. (1). Можно показать, что теорема об изменении количества движения тела переменной массы имеет вид: , U₁-абсолютная скорость частицы

Уравнение Мещерского. Движение рассматривается вдоль оси х, поэтому пишем скалярные формулы. Из (1):

- относительная скорость

– уравнение Мещерского

- реактивная сила