лабораторная работа / lab4
.docСанкт-Петербургский Государственный Электротехнический Университет
Кафедра АПУ
Теория автоматического управления
Четвертое практическое занятие
“Исследование характеристик систем с обратной связью в частотной области. Приближенное построение частотных характеристик замкнутых систем по ЧХ звеньев.”
Выполнили:
Гр.1321:
Волох К.А.
Соловьев Д.
Петренко В.
Гюнтер А.
Проверил:
Душин С.Е.
Санкт-Петербург 2003г.
Задача 4.1. Для системы, структурная схема которой имеет вид
, с ПФ звеньев:
k=2;
Ф(s)=W1(s)/(1+W1(s)*W2(s)) = 2/(2+s);
W0(s)=W1(s)*W2(s)=2/s
определить диапазоны частот W1, W2 и построить в этих диапазонах приближенные ЛАЧХ и ЛФЧХ замкнутой системы.
Рис 1.
На рис 1. изображена АЧХ разомкнутого контура W0(s). Диапазон частот 1, при котором
1 : |W0(jw)|≥10 принадлежит (0;0.2]; соответственно 2 : |W0(jw)|≤0.1 принадлежит [20; ∞);
Построение приближенных ЛАЧХ начнем с диапазона частот 1, т.к. замкнутый контур имеет единичную отрицательную обратную связь, то 1 :Ф(jw)=1 => L(w)=0;
будем считать, что в диапазоне, не принадлежащем 1 и 2 усиление контура незначительное => Ф(jw)=2/(2+jw) => L(w)=20lg(2/√(4+w2)); в диапазоне частот 2 ЛАЧХ имеет наклон -20дб/дек. (см. рис2.)
Рис 2.
R(w)=[A(w)+jB(w)]/[A(w)+jB(w)]
ФЧХ определяется как arctg(B(w)числ./A(w)числ.) – arctg(B(w)знам./A(w)знам.) = arctg(0/2)-arctg(w/2) = -arctg(w/2);На рис. 3. показан график ФЧХ. замкнутой системы.
В диапазоне частот 1 входной сигнал проходит с наименьшими искажениями, в диапазоне ¬(1+2) выходной сигнал начинает изменять фазу, а в диапазоне 2 на выходе имеем полуинвертный сигнал, что соответствует наклону ЛАЧХ -20дб/дек.
Рис 3.
Ответы на вопросы:
-
Внешние сигналы спектра, принадлежащего 1 воспроизводятся системой практически без искажений, т.к передаточная хар-ка (усиление контура) определяется единичной обратной связью, т.е Ф(s)=1., => при подаче на вход к-либо сигнала, то на выходе характеристический многочлен сигнала перемножится с ПФ контура => на выходе будет сигнал, поданный на входе, с незначительным искажением, определяемым W1(s)/1+W1(s)
-
Спектр внешних сигналов, принадлежащий 2 практически не пропускается системой, т.к усиление контура в этом диапазоне стремится к 0 с увеличением w.
1.
2.
2.
1.
Рис 4.
-
Данная замкнутая система эквивалентна типовому инерционному звену т.е Ф(s)=k/(Ts+1)
-
Точные ЛАЧХ и ФЧХ замкнутой и разомкнутой системы представлены на рис 4. (1. – график ЛАЧХ и ФЧХ разомкнутой системы, 2.-замкнутой.)
Задача 4.2. Для системы, структурная схема которой имеет вид
с ПФ звеньев:
T=0.5
Определить величину коэффициента передачи k, при котором замкнутая система в диапазоне 1: 0.1/T 10/T шириной в две декады имеет ЧХ, близкие к ЧХ пропорционально-дифференцирующего звена. т.е.
Определим ПФ замкнутой системы Ф(s)=W1(s)/(1+W1(s)*W2(s)) =k/(1+k*[1/(Ts+1)])
= k*(Ts+1)/(Ts+k+1)=k(0.5s+1)/(0.5s+k+1)=(1+0.5s)/(0.5s/k+1/k+1)
1: 0.2 20
W(s)=[√(1+0.25w2)]/[√(1/k2+2/k+1+0.25w2/k2)],числитель данной ПФ удовлетворяет ПФ заданного пропорционально-дифференцирующего звена, следовательно, для эквивалентности замкнутой системы и заданного звена необходимо уменьшить влияние знаменателя ПФ замкнутой системы. При k>w значение четвертого члена знаменателя меньше 1 => с увеличением k (k>2) влияния первого и второго членов знаменателя уменьшается => можно сказать, что при значении знаменателя ~(1;1.05) =>
√(1/k2+2/k+1+0.25wmax2/k2) ~1.05; (1/k2+2/k+1+0.25wmax 2/k2) ~1.10; (1/k2+2/k+100/k2) ~0.1;
0.1k2-2k-(101) = 0; k1,2=10±33; k=43.
Т.е можно сказать, что при k=43 система в диапазоне частот 1: 0.2 20 имеет с погрешностью ±5% ЧХ пропорционально-дифференцирующего звена с ПФ W(s)=1+0.5s
Ответы:
1. Коэффициент передачи замкнутой системы равен W0(0)=43.
2. Начиная со значения w=20 ЧХ замкнутого контура отличаются от ЧХ пропорционально-дифференцирующего звена более чем на 5%. Это значение частоты связано с параметрами k и T следующими соотношениями:
- w~k/(2T) (k-коэффициент передачи замкнутого контура)
Задача 4.3. Доказать аналитически эквивалентность двух систем, структурные схемы которых приведены на рис.5 при любых ПФ W1(s) и W2(s). Обосновать результаты решения задачи 4.2, используя эквивалентное представление заданной системы в виде рис.5 б).
а) б)
Рис 5.
Аналитически доказательство двух систем на рис 5. можно провести используя основную формулу определения передаточной функции системы с обратной связью.
W(s)=W1(s)/(1±W1(s)*W2(s)), ‘+’ при отрицательной обратной связи ‘-’ при положительной.=> Ws1= W1(s)/(1+W1(s)*W2(s)) и Ws2=[1/W2(s)]/[1+(1/W2(s))*(1/W1(s))] =
[1/W2(s)]/([W2(s)*W1(s)+1]/[W2(s)*W1(s)])= W1(s)/[1+W2(s)*W1(s)]. Значит ПФ систем с обратной связью не меняется при перестановке звеньев, обратных исходным звеньям системы.
И действительно, обоснование решения задачи 4.2 можно показать с помощью замены звеньев , обратных заданным системы, т.е.
0.5s+1
1/k
W(s)=(0.5s+1)/[1+(0.5s+1)/k]= (0.5s+1)/[1+0.5s/k +1/k], дальше вычисление k см. в задаче 4.2.