Список задач.

5.1. Шарик массы m бросили под углом к горизонту с начальной скоростью v₀. Найти модуль вектора момента импульса шарика относительно точки бросания в зависимости от времени движения. Вычислить M в вершине траектории, если m = 130 г, = 45⁰ и v₀ = 25 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: M = (1/2)mgv₀t²cos; M = (mv₀³/2g) sin²cos = 37 кг∙м²/с.

5.2. Момент импульса частицы относительно некоторой точки O меняется со временем по закону M = a + bt², где a и b - постоянные векторы, причем ab. Найти относительно точки O момент силы N, действующей на частицу, когда угол между векторами N и M окажется равным 45⁰.

Ответ: N = 2b

5.3. Небольшой шарик массы m, привязанный на нити длины l к потолку в точке O, движется по горизонтальной окружности постоянной угловой скоростью . Относительно каких точек момент импульса M шарика остается постоянным? Найти модуль приращения вектора момента импульса шарика относительно точки О за половину оборота.

Ответ: Относительно центра окружности. M=2mgl/.

5.4. На массивный неподвижный блок радиуса R намотана легкая нерастяжимая нить, к свободному концу которой подвешено небольшое тело массы m. В момент t = 0 систему предоставили самой себе, и она пришла в движение. Найти ее момент импульса относительно оси блока в зависимости от t.

Ответ: M_Z = Rmgt.

5.5. Некоторая система частиц имеет суммарный импульс p и момент импульса M относительно точки O. Найти ее момент импульса M’ относительно точки O’, положение которой по отношению к точке O определяется радиус-вектором r₀. Выяснить, в каком случае момент импульса системы частиц не будет зависеть от выбора точки O.

Ответ: M’ = M - r₀p. B случае, когда p = 0, т.е. в системе центра масс.

5.6. Небольшая шайба массы m = 50 г начинает скользить с вершины гладкой наклонной плоскости, высота которой h = 100 см и угол наклона к горизонту α = 15⁰ . Найти модуль момента импульса шайбы относительно оси, перпендикулярной к плоскости рисунка, через t = 1,3 c после начала движения.

Ответ: M =  mghtsin2α/2 = 1,6∙10^-2 кг∙м²/с.

5.7. Найти момент импульса Земли относительно ее полярной оси. Считать Землю правильным шаром радиуса R = 6000 км, имеющим плотность  = 5,5 г/см³.

Ответ: M = 16R⁵²/15Т = 52∙10⁴⁰ г∙см²/c.

5.8. Найти момент инерции: а) однородного тонкого стержня относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его конец, если масса стержня m и его длина l; б) тонкой однородной прямоугольной пластинки относительно оси, проходящей через одну из вершин пластинки перпендикулярно к ее плоскости, если стороны пластинки равны a и b, а ее масса - m.

Ответ: а) I = ml²/3; б) I = m(a² + b²)/3.

5.9. Найти момент инерции тонкого проволочного кольца радиусом а и массы m относительно оси, совпадающей с его диаметром.

Ответ: I = ma²/2.

5.10. Исходя из формулы для момента инерции однородного шара, найти момент инерции тонкого сферического слоя массы m и радиуса R относительно оси, проходящей через его центр.

Ответ: I = 2mR²/3.

5.11. На однородный сплошной цилиндр массы М и радиуса R плотно намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массы m. В момент t = 0 система пришла в движение. Пренебрегая трением в оси цилиндра, найти зависимость от времени: а) модуля угловой скорости цилиндра; б) кинетической энергии всей системы.

Ответ: а) ω = gt/R(1+M/2m); б) E_k = mg²t²/2(1+M/2m).

5.12. Однородный шар массы m = 5,0 кг скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол α = 30⁰ с горизонтом. Найти кинетическую энергию шара через t = 1,6 c после начала движения.

Ответ: E_k = 5mg²t²sin²α/14 = 0,11 кДж.

	5.13. Найти ускорение грузов и натяжение нитей в установке, изображенной на рисунке 5.3, учитывая момент инерции I вращающегося блока, при условии, что нить не скользит по блоку. Радиус блока r. Ответ: a2 = -a1 = (m2-m1)g/(m2+m1+I/r2); T1 = (2m1m2g+m1gI/r2)/(m1+m2+I/r2); T2 = (2m1m2g+m2gI/r2)/(m1+m2+I/r2).
Рис.5.3

5.14. На горизонтальную неподвижную ось насажен блок, представляющий собой сплошной цилиндр массы М. Через него перекинута невесомая веревка, на концах которой висят две обезъяны массой m каждая. Первая обезъяна начинает подниматься с ускорением а относительно веревки. Определить, с каким ускорением относительно неподвижной системы координат будет двигаться вторая обезъяна.

Ответ: a₂ = 2ma/(M+4m).

5.15. По наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом, скатывается без скольжения сплошной однородный диск. Найти линейное ускорение а центра диска.

Ответ: a = 2gsinα/3.

5.16. По наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α=30⁰, скатывается без скольжения сплошной однородный цилиндр, масса которого равна 300 г. Найти величину силы трения цилиндра о плоскость.

Ответ: F = mg sinα/3.

5.17. На краю свободно вращающегося горизонтального диска радиуса R, имеющего момент инерции I, стоит человек массы m. Диск совершает n об/мин. Как изменится скорость вращения диска, если человек перейдет от края диска к центру? Как изменится при этом кинетическая энергия? Размерами человека по сравнению с радиусом диска можно пренебречь.

Ответ: Скорость вращения и кинетическая энергия возрастут в (1+mR²/I) раз.

5.18. Найти ускорение а центра однородного шара, скатывающегося без скольжения по наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом. Чему равна сила трения сцепления шара и плоскости?

Ответ: a = 5g sinα/7; T_тр = 2mg sinα/7, где m – масса шара.

5.19. Однородный шар радиуса r скатывается без скольжения с вершины сферы радиуса R. Найти угловую скорость шара после отрыва от сферы. Начальная скорость шара пренебрежимо мала.

Ответ:

5.20. Вертикально расположенный однородный стержень массы М и длины l может вращаться вокруг своего верхнего конца. В нижний конец стержня попала, застряв, летевшая пуля массы m, в результате чего стержень отклонился на угол α. Считая m«М, найти скорость летевшей пули.

Ответ: v = (M/m)(2gl/3)^1/2sin(α/2).

6. К О Л Е Б А Н И Я