Теоретический материал

Простейшим объектом, движение которого изучает классическая механика, является материальная точка. Материальной точкой называется макроскопическое тело, размерами которого можно пренебречь в рассматриваемом движении и считать, что все вещество тела как бы сосредоточено в одной точке. Например, Землю при рассмотрении ее орбитального движения вокруг Солнца можно принять за материальную точку.

Положение точки в какой-либо произвольной системе отсчета можно характеризовать либо ее радиус-вектором r, либо координатами x, y, z, являющимися проекциями радиус-вектора на координатные оси. Полное описание движения сводится поэтому к нахождению координат как функций времени x(t), y(t), z(t), или к нахождению векторной функции r(t).

Пусть в момент времени t материальная точка находилась в положении М с радиус-вектором r(t).Спустя время Δt она переместилась в положение М₁ с радиус-вектором r₁ = r(t+Δt) (см. рис.1.1). Тогда путь Δs – это длина участка траектории, пройденного за Δt. А вектор Δr = r-r₁ – перемещение за Δt.

Величина <v> = Δr/Δt называется средней скоростью движения за время Δt. Направление средней скорости совпадает с направлением хорды ММ₁, т.е. с Δr.

Мгновенной скоростью называется предел средней скорости при Δt→0, т.е. . Мгновенная скорость есть вектор, направленный по касательной к траектории движения. Модуль скорости , т.к. при Δt→0 путь Δs равен перемещению Δr. Тогда путь, пройденный телом . При прямолинейном движении .

При криволинейном движении скорость может меняться как по модулю, так и по направлению. Пусть в момент времени t материальная точка имела скорость v, а спустя промежуток времени Δt ее скорость изменилась и стала v_1. (см. рис. 1.2).

Величина называется средним ускорением за время Δt. Мгновенным ускорением a называется вектор, равный первой производной вектора скорости v или второй производной радиуса-вектора r по времени:

.

Разложим вектор Δv = v₁-v на две составляющие: |СД| = |Δv_τ| - представляет изменение скорости по модулю за время Δt . Вторая составляющая Δv_n показывает изменение скорости по направлению. Тогда величина называется тангенциальной составляющей ускорения. Направлена a_τ по касательной к траектории. Величина (где r-радиус кривизны траектории) называется нормальной составляющей ускорения. Она направлена к центру кривизны траектории и отвечает за изменение скорости только по направлению. Полное ускорение a = a_τ +a_n , а по модулю .

Если a_τ=0, a_n = const – скорость по модулю не изменяется, а изменение по направлению , то радиус кривизны траектории не изменяется и следовательно тело движется по окружности.

По аналогии с линейной скоростью и ускорением вводят угловую скорость и угловое ускорение. Эти понятия относятся к случаю движения материальной точки по окружности. Пусть точка за время Δt прошла путь Δs, этому пути соответствует угол Δφ (рис. 1.3).

Тогда угловая скорость . Направление угловой скорости определяется по правилу правого винта. Если ω = const, то вращение называется равномерным и можно ввести период и частоту вращения. Период вращения – это время одного полного оборота: . Частота вращения - число оборотов в единицу времени. Тогда ω = 2πν и ω в этом случае называют угловой частотой вращения.

Первая производная угловой скорости или вторая производная угла по времени называется угловым ускорением: . Связь между линейными и угловыми величинами: .