Пример решения задачи.

1.За промежуток времени τ = 10 с точка прошла половину окружности радиуса R = 160 см. Вычислить за это время: а) среднюю скорость <v>; б) модуль среднего вектора скорости |<v>|; в) модуль среднего вектора полного ускорения |<w>|, если точка двигалась с постоянным тангенциальным ускорением.

Дано: t = 10 с R = 1,6 м wτ = const ---------------------- <v>; |<v>|; |<w>|
	Рис.1.4

Решение:

Поместим начало координат в точке 1 (рис.1.4).Тогда за время τ точка переместилась из положения 1 в положение 2 и вектор перемещения будет r₂₁ , а пройденный путь, т.е. длина траектории, равен половине длины окружности. По определению средней скорости , где в нашем случае Δs = πR, Δt = τ. Тогда , а численное значение <v> = 0,5 м/c.

Средний вектор скорости по определению , а его модуль . В нашем случае , и тогда . Численное значение |<v>| = 0,32 м/c.

Средний вектор полного ускорения , где Δv = v₂-v₁ – приращение вектора скорости за время Δt, а его модуль . Из рисунка видно, что вектора v₂ и v₁ антиколлинеарны и | v₂-v₁| = v₂+v₁. Из условия задачи известно, что w_τ – постоянно, а, следовательно, скорость по модулю линейно зависит от времени, т.е. v(t ) = v₁+ w_τt. При такой зависимости средняя скорость может быть определена как , откуда . Подставляя это уравнение в формулу для определения модуля среднего вектора ускорения, получим: . Подставив численные значения, получим .

2.Диск радиусом R = 10 см вращается так, что зависимость угла поворота диска от времени задается уравнением  = А+Вt³ (А = 2 рад, В = 4 рад/с³). Определить угол , при котором полное ускорение составит с радиусом диска угол α = 45⁰.

Дано: R = 10 см = 0,1 м  = А+Вt3 А = 2 рад В = 4 рад/с3 α = 450 __________________  - ?

Решение:

Модуль полного ускорения , где нормальная составляющая a_n направлена вдоль радиуса диска, а тангенциальная составляющая a_ направлена по касательной к диску. Из рисунка 1.5 видно, что

.

Когда угол α = 45⁰, a_n = a_ и tgα = 1.

Найдем a_n и a_. a_n = ²R, где  - угловая скорость: . Тогда

.

a_ = εR, где ε – угловое ускорение: . Следовательно,

.

Приравнивая a_n и a_, найдем момент времени, когда угол между полным ускорением и радиусом диска будет равен 45⁰:

.

Подставив полученное значение в формулу зависимости угла поворота диска от времени, получим

.

Подставив численные значения, получим  = 3,67 рад.

Список задач.

1.1. Точка прошла половину пути со скоростью v₀ . Оставшуюся часть пути она половину времени двигалась со скоростью v₁ , а последний участок - со скоростью v₂ . Найти среднюю за все время движения скорость точки.

Ответ:  = 2v₀(v₁+ v₂)/(2v₀+ v₁+ v₂).

1.2. Две частицы, 1 и 2 , движутся с постоянными скоростями v₁ и v₂. Их радиус-векторы в начальный момент равны r₁ и r₂. При каком соотношении между этими четырьмя векторами частицы испытают столкновение друг с другом?

Ответ: (r₁ - r₂)/r₁ - r₂ = (v₂ - v₁)/v₂ - v₁.

1.3. Два пловца должны попасть из точки А на одном берегу реки в прямо противоположную точку В на другом берегу. Для этого один из них решил переплыть реку по прямой АВ, другой же - все время держать курс перпендикулярно к течению, а расстояние, на которое его снесет, пройти пешком по берегу со скоростью u. При каком значении u оба пловца достигнут точки В за одинаковое время, если скорость течения v₀ = 2,0 км/ч и скорость каждого пловца относительно воды v₁ = 2,5 км/ч?

Ответ: u = v₀/(1 - v²₀/v₁² )^-1/2 - 1 = 3,0 км/ч.

1.4. Лодка движется относительно воды со скоростью, в n = 2,0 раза меньшей скорости течения реки. Под каким углом к направлению течения лодка должна держать курс, чтобы ее снесло течением как можно меньше?

Ответ: θ = arcsin (1/n)+/2 = 120^O.

1.5. Точка движется вдоль оси х со скоростью, проекция которой v_x как функция времени описывается графиком (рис. 1.6). Имея в виду, что в момент t = 0 координата точки х = 0, начертить примерные графики зависимостей от времени ускорения а_x, координаты х и пройденного пути s.

рис.1.6 рис.1.7

Ответ: см.рис. 1, 7.

1.6. Точка движется в плоскости xy по закону , где А и  - положительные постоянные. Найти:

а) путь s, пройденный точкой за время ;

б) угол между скоростью и ускорением точки.

Ответ: a) s = A; б) /2.

1.7. В момент t = 0 частица вышла из начала координат в положительном направлении оси х, Ее скорость меняется со временем по закону v = v_o(1-t/), где v_o-вектор начальной скорости, модуль которого v₀ = 10,0 см/с,  = 5,0 с. Найти: а) координату х частицы в моменты времени 6,0, 10 и 20 с;

б) моменты времени, когда частица будет находиться на расстоянии

10,0 см от начала координат;

Ответ: а) x = v₀t (1-t/2); б) 1,1, 9 и 11 с.

1.8. Радиус точки A относительно начала координат меняется со временем t по закону r = сti-bt²j, где с и b - положительные постоянные, i и j- орты осей x и y. Найти: а) уравнение траектории точки y(x) ; изобразить ее график; б) зависимости от времени векторов скорости v, ускорения а и модулей этих величин; в) зависимость от времени угла  между векторами v и а; г) средний вектор скорости за первые t секунд движения и модуль этого вектора.

Ответ: a) y = -x²b/с²; б) v = сi-2btj, а = -2bj, v = , а = 2b;

в) tg  = с/2bt; г) v = сi-btj, v = .

1.9. Пушка и цель находятся на одном уровне на расстоянии 5,10 км друг от друга. Через сколько времени снаряд с начальной скоростью 240 м/с достигнет цели в отсутствие сопротивления воздуха?

Ответ: Через 0,41 или 0,71 мин в зависимости от начального угла.

1.10. Шарик начал падать с нулевой начальной скоростью на гладкую наклонную плоскость, составляющую угол с горизонтом. Пролетев расстояние h, он упруго отразился от плоскости. На каком расстоянии от места падения шарик отразится второй раз?

Ответ: L = 8h sin.

1.11. Точка движется по окружности со скоростью v = bt, где b = 0,50 м/с². Найти ее полное ускорение в момент, когда она пройдет n = 0,10 длины окружности после начала движения.

Ответ: a = b= 0,8 м/с².

1.12. Колесо вращается вокруг неподвижной оси так, что угол  его поворота зависит от времени как  = bt², где b = 0,20 рад/с². Найти полное ускорение a точки A на ободе колеса в момент t = 2,5 с, если линейная скорость точки A в этот момент v = 0,65 м/с.

Ответ: a = (v/t)м/с².

1.13. Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением ε = bt, где b = 2,010^-2 рад/c³. Через сколько времени после начала вращения вектор полного ускорения произвольной точки тела будет составлять угол α = 60 ^O с ее вектором скорости?

Ответ: t = 

1.14. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону , где а = 6,0 рад/c, b = 2,0 рад/с. Найти:

а) средние значения угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от t = 0 до остановки;

б) угловое ускорение в момент остановки тела.

Ответ: а)  = 2а/3 = 4 рад/с, ε =  = 6 рад/c²; б)  = 12 рад/c.

1.15. Снаряд вылетел со скоростью v = 320 м/с, сделав внутри ствола n = 2,0 оборота. Длина ствола L = 2,0 м. Считая движение снаряда в стволе равноускоренным, найти его угловую скорость вращения вокруг оси в момент вылета.

Ответ:  = 2nv/l = 2,010³  рад/с.

1.16. Найти угловое ускорение ε колеса, если известно, что через время t = 2 c после начала движения вектор полного ускорения точки, лежащей на ободе, составляет угол α = 60⁰ с вектором ее линейной скорости.

Ответ: рад/c.

1.17. Найти линейную скорость v точек земной поверхности на географической широте φ, вызванную суточным вращением Земли вокруг своей оси.

Ответ: v = 1670cos φ км/c.

1.18. Якорь электромотора, вращавшегося с частотой N оборотов в секунду, двигаясь после выключения тока равнозамедленно, остановился, сделав n оборотов. Найти угловое ускорение якоря после выключения тока.

Ответ: ε = πN²/n.

1.19. Автомобиль движется со скоростью 60 км/ч. Сколько оборотов в секунду делают его колеса, если они катятся по шоссе без скольжения, а внешний диаметр покрышек колес равен 60 см.

Ответ: n ≈ 9 об/c.

1.20. Разматывая веревку и вращая без скольжения вол ворота, ведро опускается в колодец с ускорением 1 м/c². С каким угловым ускорением вращается вал ворота? Как зависит от времени угол поворота вала? Радиус вала ворота равен 25 см.

Ответ: ε = 4 рад/c²; φ = 2t² рад.

2. Д И Н А М И К А М А Т Е Р И А Л Ь Н О Й Т О Ч К И