Лекция № 6, № 7, № 8

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Существует еще одна причина высокой репутации математики: именно математика дает... наукам определенную меру уверенности в выводах, достичь которой без математики они не могут.

А. Эйнштейн

Теорию вероятностей можно определить как раздел математики, в котором изучаются закономерности, присущие массовым случайным явлениям. Методы теории вероятностей широко применяются при математической обработке результатов измерений, а также во многих задачах экономики, статистики, страхового дела, массового обслуживания.

Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, представляли собой попытки создания теории азартных игр (Б. Паскаль, П. Ферма, X. Гюйгенс). Следующий этап развития связан с именем Я. Бернулли. Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана А. Муавру, П. Лапласу, К. Гауссу, С. Пуассону и др. Наиболее плодотворный период связан с именами П. Л. Чебышева и его учеников A. A. Маркова и А. М. Ляпунова, последующее развитие – с именами С. Н. Бернштейна, А. Я. Хинчина, А. Н. Колмогорова, В. И. Романовского, Н. И. Смирнова, Б. В. Гнеденко и др.

Концепция детерминированного подхода к явлениям окружающего мира долгое время преобладала как в организации научных исследований, так и в представлении их результатов. В основе этой концепции распространенное механистическое представление о том, что при сохранении неизменными внешних условий, повторении некоторых опреде­ленных действий неизбежно можно прийти к прежнему результату. Эксперимент называется детерминированным, если его повторение не приводит к новым результатам. В противном случае, когда повторение эксперимента может привести к другому результату, эксперимент называется случайным. Такое название связано с тем, что типичными экспериментами, в которых имеет место указанное явление (повторные действия могут давать разные результаты), являются эксперименты, заключающиеся в подбрасывании монеты или игрального кубика, раздачи колоды карт и т. п. В каждом из них мы сталкиваемся с неоднозначностью результата эксперимента. Так, монета может упасть вверх «гербом» или «решкой», а кубик – любой из шести граней, причем невозможно заранее предугадать, что конкретно произойдет при данном подбрасывании. Поэтому говорят, что результат зависит от случая, отсюда и название эксперимента.

Задача теории вероятностей заключается в построении вероятностных моделей случайных экспериментов. Вероятностная модель позволяет придать строгий математический смысл таким словам, как «случайность», «событие», «вероятность», «правдоподобный» и т. п., позволяет оценить шансы не появление различных результатов, возможных в данном случайном эксперименте.

Конечно, надо отдавать себе отчет в том, что, как всякая модель, и вероятностная модель тоже, является некоторой идеализацией описываемого эксперимента – она не предназначена для воспроизведения всех деталей, а воплощает лишь основные черты явления. В частности, при подбрасывании монеты мы предполагаем, что результатом эксперимента не может быть пропажа монеты или приземление ее на ребро. Кроме того, чрезвычайно важным в теории вероятностей является предположение о принципиальной возможности многократного повторения случайного эксперимента. Если такой возможности нет, то построение вероятностной модели не имеет смысла. Можно сказать, что конкретная информация о самых разных ситуациях, которые могут возникнуть в данном случайном эксперименте, содержащаяся в вероятностной модели, «разворачивается» лишь при многократном повторении этого эксперимента. Так, мы можем утверждать, что если подбросим «правильную» монету 1000 раз, то число выпадений герба будет мало отличаться от 500.

Событие и вероятность: основные понятия, определение вероятности

Понятие о случайном событии

Опыт, эксперимент, наблюдение явления называются испытанием. Испытаниями, например, являются: бросание монеты, выстрел из винтовки, бросание игральной кости (кубика с нанесенным на каждую грань числом очков – от одного до шести).

Результат (исход) испытания называется событием. Событиями являются: выпадение герба или выпадение цифры, попадание в цель или промах, появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости.

Для обозначения событий используются большие буквы латинского алфавита: А, В, С и т. д.

При построении теории события идеализируются, т. е. игнорируются ситуации, несущественные для данного явления.

Пример. При бросании монеты может выпасть герб или решка (обратная сторона). Таким образом, при однократном испытании возможны два события: А – выпадение герба, В – выпадение решки.

Однако возможно еще одно событие С – когда монета станет на ребро. Но при организации игры в «орлянку» это обстоятельство несущественно (монета перебрасывается) и в нашем идеализированном опыте это событие не учитывается.

Определение. Два события называются совместимыми, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Пример. Испытание: однократное бросание игральной кости. Событие А – появление трех очков (появление четырех очков), событие В – появление нечетного числа очков (появление четного числа очков). События А и В совместимые.

Определение. Два события называются несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.

Пример. Испытание: однократное бросание монеты. Событие А – выпадение герба, событие В – выпадение цифры. Эти события несовместимы, так как появление одного из них исключает появление другого.

Или, например, при одном бросании кости появление не менее трех очков и при этом появление четной грани – события совместные, а появление цифры 3 и при этом появление четной грани – события несовместные.

Несовместимость более чем двух событий означает их попарную несовместимость.

Пример. Испытание: однократное бросание игральной кости. Пусть события А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆ – соответственно выпадение одного очка, двух, трех и т.д. Эти события являются несовместимыми.

Определение. Два события А и В называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно происходит.

Событие, противоположное событию А, обозначают через ^А.

Пример. Испытание: бросание монеты. Событие А – выпадение герба, событие В – выпадение цифры. Эти события противоположны, так как исходами бросания могут быть лишь они и появление одного из них исключает появление другого, т. е. А=^В или ^А=В.

Определение. Событие называется достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным его исходом, и невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти.

Например, получение студентом положительной или отрицательной оценки на экзамене есть событие достоверное, если экзамен протекает согласно обычным правилам.

Пример. Испытание: извлечение шара из урны, в которой все шары белые. Событие А – вынут белый шар – достоверное событие; событие В – вынут черный шар – невозможное событие.

Заметим, что достоверное и невозможное события в данном испытании являются противоположными.

Достоверное событие не может не произойти (например, выпадение не менее одного очка при бросании кости); невозможное событие не может произойти (например, выпадение семи очков).

Определение. Событие А называется случайным, если оно объективно может наступить или не наступить в данном испытании.

Пример. Событие А₂ – выпадение двух очков при бросании игральной кости – случайное. Оно может наступить, но оно может и не наступить в данном испытании.

Ответ на вопрос, считать ли данное событие случайным, зависит от имеющейся информации. Например, появление поезда на станции в про­межутке времени от 18.00 до 18.10 – событие случайное с точки зрения пассажира, не знающего расписания, и неслучайное для пассажира, знающего расписание. В опыте с бросанием монеты, если знать с достаточной точностью массу, начальные координаты и скорость монеты, можно (в принципе) рассчитать ее траекторию и, следовательно, пред­сказать, которой из двух сторон она упадет на стол.

Упражнения для фронтального опроса:

1. Какие из следующих событий – случайные, достоверные, невозможные:

1.1. черепаха научится говорить, 1.2. вода в чайнике, стоящем на плите, закипит, 1.3. ваш день рождения – 19 октября, 1.4. день рождения вашего друга – 30 февраля, 1.5. вы выиграете, участвуя в лотерее, 1.6. вы не выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее, 1.7. вы проиграете партию в шахматы, 1.8. вы завтра встретите инопланетянина, 1.9. на следующей неделе испортится погода, 1.10. сегодня – четверг, 1.11. после пятницы будет четверг, 1.12. вы нажали на звонок, а он не зазвонил, 1.13. после четверга будет пятница.

2. Используя выражения «более вероятное», «менее вероятное», «равновероятные события», сравните возможность наступления случайных событий А и В:

2.1. Вы просыпаетесь утром. А – это будний день, В – это выходной. 2.2. Вы подбрасываете игральный кубик А – выпадает 6, В – выпадает не 6.

Алгебра событий.

Определение. Суммой событий А и В называется событие С = А + В, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А или В.

Аналогично суммой конечного числа событий А₁, А₂,…,A_k – называется событие А =А₁ +А₂ + ... +A_k, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий A_i (i = 1, 2, ..., k).

Из определения непосредственно следует, что А + В = В + А. Справедливо также и сочетательное свойство. Однако А + А = А (а не 2А, как в алгебре).

Пример 1. Испытание: стрельба двух стрелков (каждый делает по выстрелу). Событие А – попадание в мишень первым стрелком, событие В – попадание в мишень вторым стрелком. Суммой событий А и В будет событие С =А + В, состоящее в попадании в мишень по крайней мере одним стрелком.

Пример 2. Пусть событие А есть выигрыш в лотерее I , а событие В – выигрыш в лотерее II. Тогда событие С = А + В есть выигрыш хотя бы водной лотерее (возможно в двух сразу!).

Определение. Произведением событий А и В называется событие С = AB, состоящее в том, что в результате испытания произошли и событие А, и событие В.

Аналогично произведением конечного числа событий А₁, А₂,…,A_k называется событие А = А₁А₂…A_k, состоящее в том, что в результате испытания произошли все указанные события.

Из определения непосредственно следует, что AВ = ВА. Справедливы также сочетательный и дистрибутивный законы. Однако АА = А (а не А²).

Пример 3. В условиях примера 1 произведением событий А и В будет событие С = AB, состоящее в попадании в мишень двух стрелков.

Пример 4. Пусть события А и В есть успешные прохождения соответственно туров I и II при поступлении в университет. Тогда событие С = А ∙ В представляет собой успешное прохождение обоих туров.

Замечание 1. Сумма противоположных событий есть событие достоверное.

Замечание 2. Произведение противоположных событий есть событие невозможное.

Классическое определение вероятности.

Можно ли как-то измерить возможность появления некоторого случайного события? Другими словами, можно ли охарактеризовать эту возможность некоторым числом?

Всякое испытание влечет за собой некоторую совокупность исходов – результатов испытания, т. е. событий. Во многих случаях возможно перечислить все события, которые могут быть исходами данного испытания.

Определение. Говорят, что совокупность событий образует полную группу событий для данного испытания, если его результатом обязательно становится хотя бы одно из них.

Приведем примеры полных групп событий: выпадение герба и выпадение цифры при одном бросании монеты; попадание в цель и промах при одном выстреле; выпадение одного, двух, трех, че­тырех, пяти, шести очков при одном бросании игральной кости.

Рассмотрим полную группу попарно несовместимых событий U₁, U₂, ..., U_n, связанную с некоторым испытанием. Предположим, что в этом испытании осуществление каждого из событий U₁, U₂, ..., U_n равновозможно, т. е. условия испытания не создают преимущества в появлении какого-либо события перед другими возможными.

Определение. События U₁, U₂, ..., U_n, образующие полную группу попарно несовместимых и равновозможных событий, будем называть элементарными событиями.

Пример 1. Вернемся к опыту с подбрасыванием игральной кости. Пусть U_i – событие, состоящее в том, что кость выпала гранью с цифрой i. Как уже отмечалось, события U₁, U₂, ..., U₆ образуют полную группу попарно несовместимых событий. Так как кость предполагается однородной и симметричной, то события U₁, U₂, ..., U₆ являются и равновозможными, т. е. являются элементарными.

Определение. Событие А называется благоприятствующим событию В, если наступление события А влечет за собой наступление события В.

Пример 2. Пусть при бросании игральной кости события U₂, U₄, U₆ – появление соответственно двух, четырех, шести очков и А – событие, состоящее в появлении четного очка; события U₂, U₄, U₆ благоприятствуют событию А.

Вероятность события А – число Р(А), характеризующее возможность появления этого события.

Определение (классическое определение вероятности). Вероятностью Р(А) события А называется отношение m / n числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных событий, т. е. Р(А) = m /n.

Пример 3. Вычислим вероятность выпадения герба при одном бросании монеты. Очевидно, событие А – выпадение герба – и событие В – выпадение цифры – образуют полную группу несовместимых и равновозможных событий для данного испытания. Значит, здесь n = 2. Событию A благоприятствует лишь одно событие – само А, т. е. здесь m = 1. Поэтому Р (А) = 1/2.

Пример 4. Очевидно, что в опыте с игральной костью (пример 1) P(U_i) = 1/6, i = l,. ..,6.

Пример 5. Найти вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет число очков, делящееся на 2 (событие A).

Число элементарных событий здесь 6. Число благоприятствующих элементарных событий 3 (выпадение 2, 4 или 6). Поэтому Р (А) = 3/6 = 1/2.

Из приведенного классического определения вероятности вытекают следующие ее свойства.

1. Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, достоверному событию должны благоприятствовать все n элементарных событий, т. е. m = n, и, следова-тельно, P (A) = m / n = n / n = 1.

2. Вероятность невозможного события равна нулю. В самом деле, невозможному событию не может благоприятствовать ни одно из элементарных событий, т. е. т = 0, откуда P (A) = m / n = 0 / n = 0.

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа n элементарных событий. Поэтому в этом случае 0 < m / n < 1. Следовательно, 0 < Р(А) < 1.

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0  Р(А)  1.

Упражнения для фронтального контроля:

1. Чтобы определить, какой цвет волос встречается в городе чаще, а какой реже, студенты за полчаса провели следующий эксперимент. Каждый выбрал свой маршрут и записывал по пути следования цвет волос каждого пятого встречного. Результаты были занесены в следующую таблицу:

Цвет волос	брюнеты	шатены	рыжие	блондины	Всего
Число людей	198	372	83	212	865

Оцените вероятность того, что выбранный наугад житель этого города будет: 1. шатеном, 2. рыжим, 3. не рыжим.

2. В пакете лежат 20 зелёных и 10 жёлтых груш.

2.1. Какова вероятность вынуть из пакета грушу? 2.2. Какова вероятность вынуть из пакета яблоко? 2.3. Какова вероятность вынуть из пакета жёлтую грушу?

3. В мешке 7 красных и 10 зелёных яблок. Какое наименьшее количество яблок нужно вынуть, не заглядывая в мешок, чтобы с вероятностью, равной 1, среди вынутых было хотя бы одно красное яблоко?

4. На экзамене – 24 билета. Андрей не разобрался в одном билете и очень боится его вытянуть. Какова вероятность, что Андрею достанется несчастливый билет? (1/24)

5. В лотерее 10 выигрышных билетов и 240 без выигрыша. Какова вероятность выиграть в эту лотерею, купив один билет? (1/250)

6. В лотерее участвуют 300 билетов с номерами от001 до 300, один билет выигрывает. Наугад вынули один билет и решили, что он будет выигрышный. Какова вероятность того, что номер выигрышного билета заканчивается цифрой 5?

7. Решение: каждая из десяти цифр может с равной вероятностью оказаться последней в номере выигрышного билета. Поэтому вероятность того, что номер заканчивается цифрой 5, равна… (1/10)

8. В лотерее 100 билетов, из них 5 выигрышных. Какова вероятность проигрыша?

9. На вопрос телевикторины было получено 1250 открыток с правильными ответами, в том числе и ваша. Для определения призёра ведущий должен наугад вытащить одну открытку. Какова вероятность того, что приз достанется вам?

10. На скамейку произвольным образом садятся двое мужчин и женщина. Какова вероятность того, что мужчины окажутся рядом?

11. Грани кубика окрашены в красный и жёлтый цвет. Вероятность выпадения красной грани равна 1/6, вероятность выпадения жёлтой грани равна 5/6. Сколько красных и жёлтых граней у кубика?

12. В ящике лежат 8 красных, 2 синих и 20 зелёных карандашей. Вы наугад вынимаете карандаш. Какова вероятность того, что это красный карандаш? Жёлтый карандаш? Не зелёный карандаш? Какое наименьшее количество карандашей нужно вынуть, чтобы с вероятностью, равной 1, среди них был зелёный карандаш?

13. Бросаются одновременно два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма очков будет равна 12?

14. У Юры в коробке 25 белых и 50 красных шаров, у Наташи в коробке 40 белых и 80 красных шаров. Они играют в игру, победителем которой становится тот, кто первым, не глядя, вынет белый шар из своей коробки. Если они вынимают белый шар одновременно – ничья. Юра считает, что эта игра несправедливая, т.к. у него в коробке меньше белых шаров. Согласны ли вы с Юрой? Поясните свой ответ.

15. Женя купил булочку с изюмом, но изюма в ней не оказалось. Стоит ли Жене подавать в суд на хлебопекарный завод?

16. В магазине подсчитали, что обычно из тысячи телевизоров оказывается 2 бракованных. Какова вероятность того, что телевизор, выбранный наугад в этом магазине, будет бракованным?

17. В сумке лежат 12 красных, 10 зелёных и 3 жёлтых яблока. Какое яблоко вероятнее всего вынуть наугад из сумки? Какова вероятность вынуть наугад яблоко? Грушу? Зелёное яблоко? Не красное яблоко?

18. Вы выигрываете, если шар, вынутый наугад из коробки, – белый. Какую из коробок выгоднее выбрать для игры, чтобы вероятность выигрыша была больше:

18.1. в коробке 15 белых шаров из 45, 18.2. в коробке 40 белых шаров из 120, 18.3. в коробке 22 белых шара и 44 красных, 18.4. в коробке поровну белых, красных и чёрных шаров.

19. В ящике 5 белых и 5 чёрных шаров. Наудачу выбирают 6 шаров.

19.1. Определите вероятность события А – все выбранные шары чёрные. 19.2. Определите вероятность события В – среди выбранных шаров есть чёрный. 19.3. Определите, какие из следующих событий являются достоверными: 19.3.1. Д – Среди выбранных шаров есть по крайней мере три одного цвета. 19.3.2. С – Среди выбранных шаров есть по крайней мере четыре одного цвета. 19.4. Какое наименьшее число шаров надо взять из этого ящика, чтобы вероятность того, что среди выбранных есть три шара черного цвета, была равна 1?

20. В ящике лежит 6 красных и 6 синих шаров. Наудачу выбирают 8 шаров.

20.1. Определите вероятность события А – все выбранные шары красные. 20.2. Определите вероятность события В – среди выбранных шаров есть красный. 20.3. Определите, какое из следующих событий является достоверным: 20.3.1. С – среди выбранных шаров есть по крайней мере четыре одного цвета. 20.3.2. Д – среди выбранных шаров есть по крайней мере пять одного цвета. 20.4. Какое наименьшее число шаров надо взять из этого ящика, чтобы вероятность того, что среди выбранных есть четыре шара синего цвета, была равна 1?

21. В группе 12 юношей, шестерых из них зовут Серёжами, четверых – Алёшами, а остальных – Сашами. Новый преподаватель, ещё не знающий имён студентов, вызывает ответить на семинаре.

21.1. Вызывается один молодой человек. Какова вероятность того, что вызванного зовут Сергей? 21.2. Вызывается один молодой человек. Какова вероятность того, что вызванного зовут Алексей? 21.3. Какое наименьшее количество молодых людей нужно вызвать, чтобы с вероятностью, равной 1, среди них был Саша?

22. В группе 15 девушек, восьмерых из них зовут Ленами, пятерых – Анями, а остальных – Наташами. Новый преподаватель, ещё не знающий имён студентов, вызывает ответить на семинаре.

22.1. Вызывается одна девушка. Какова вероятность того, что вызванную зовут Наталья? 22.2. Вызывается одна девушка. Какова вероятность того, что вызванную зовут Елена? 22.3. Какое наименьшее количество девушек нужно вызвать, чтобы с вероятностью, равной 1, среди них была Аня?

Упражнения.

1. Монета бросается два раза. Какова вероятность того, что: а) герб выпадет хотя бы один раз? б) герб выпадет два раза? Решение. а) Пусть А – событие, состоящее в том, что в результате проведенного испытания герб выпал хотя бы один раз. Равновозможными элементарными исходами здесь являются: ГГ, ГР, РГ, РР, т.е. n = 4. Событию А благоприятствуют исходы: ГГ, ГР, РГ, т.е. m = 3. Следовательно, Р(А) = m/n = ¾. б) Пусть В – событие, состоящее в том, что в результате проведенного испытания герб выпал два раза. Событию В благоприятствует один исход: ГГ, т.е. m = 1. Следовательно, Р(В) = m/n = ¼.

2. Игральная кость бросается два раза. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6 (событие А)? Решение. Равновозможными элементарными исходами здесь являются пары (x, y), где x и y принимают значения: 1,2,3,4,5,6. Таким образом, общее число элементарных исходов равно n = 6 ∙ 6 = 36. Событию А благоприятствуют пары (1;5), (2;4), (3;3), (4;2), (5;1), число которых равно 5, следовательно, m = 5. Таким образом, Р(А) = m/n = 5/36.

Относительная частота. Статистическое определение вероятности.

Классическое определение вероятности события предполагает, что 1) число элементарных исходов конечно; 2) эти исходы равновозможны.

Однако на практике встречаются испытания с бесконечным числом возможных исходов. Кроме того, нет общих методов, позволяющих результат испытания, даже с конечным числом исходов, представить в виде суммы равновозможных элементарных исходов.

Поэтому применение классического определения вероятности весьма ограничено.

Классическое определение вероятности не является пригодным для изучения произвольных случайных событий. Так, оно неприемлемо, если результаты испытания не равновозможны. Например, при бросании неправильной игральной кости выпадение ее различных граней не равновозможно.

В таких случаях используется так называемое статистическое определение вероятности.

Пусть произведено n испытаний, при этом некоторое событие А наступило m раз.

Определение. Число m называется абсолютной частотой (или просто частотой) события А, а отношение Р*(А) = m/ n называется относительной частотой события А.

Пример 1. При транспортировке из 10000 арбузов испортилось 26. Здесь m = 26 – абсолютная частота испорченных арбузов, а Р*(А) = 26/10 000 = 0,0026 относительная .

Результаты многочисленных опытов и наблюдений помогают заключить: при проведении серий из n испытаний, когда число n сравнительно мало, относительная частота Р*(А) принимает значения, которые могут довольно сильно отличаться друг от друга. Но с увеличением n – числа испытаний в сериях – относительная частота P^*(A) = m / n приближается к некоторому числу Р(А), стабилизируясь возле него и принимая все более устойчивые значения.

Пример 2 . Было проведено 10 серий бросаний монеты, по 1000 бросаний в каждой. Относительные частоты выпадения герба оказались равными 0,501; 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,500; 0,497; 0,494; 0,484. Эти частоты группируются около числа 0,5.

Определение (статистическое определение вероятности). Вероятностью события А в данном испытании называется число Р(А), около которого группируются значения относительной частоты при больших n.

В примере 2 вероятность в статистическом смысле равна 0,5.

Таким образом, относительная частота события приближен­но совпадает с его вероятностью в статистическом смысле, если число испытаний достаточно велико (имеется огромный опытный материал по проверке последнего утверждения).

С этой точки зрения величина m = nР(А) представляет собой среднее значение числа появления события А при n испытаниях.

Пример: В результате ряда испытаний было обнаружено, что при 200 выстрелах стрелок попадает в цель в среднем 190 раз. Какова вероятность поражения цели этим стрелком? Сколько для него попаданий в цель можно ожидать при 1000 выстрелов? Решение: Пусть А – событие, состоящее в попадании в цель данным стрелком. Используя статистическое определение вероятности имеем, Р(А) = 190/200 = 0,95 = 95 %. Отсюда число удачных выстрелов из 1000 выстрелов примерно составляет: 1000 ∙ 0,95 = 950.

Статистическое определение вероятности, использующее статистическую обработку данных, находит широкое применение.

При широких предположениях доказывается, что вероятности события в классическом и статистическом смыслах совпадают между собой.