лабораторная работа / sintez_optimalnoy_po_tochnosti_sistemy_po_kvadratichnomu_fun

Лабораторная работа №4

Синтез оптимальной по точности системы по квадратичному функционалу качества.

Цель работы: изучить методы аналитического конструирования регулятора с использованием квадратичного функционала качества и влияние параметров регулятора на качество системы.

Общие сведения:

Оптимальные по точности САУ при детерминированных сигналах имеют минимальную динамическую (интегральную) ошибку за время переходного процесса. При этом обеспечивается минимальное отклонение координат ОУ от заданных значений с учетом ограничений сигнала управления, т.е. обеспечивается оптимальная стабилизация режимов работы. Такая задача называется аналитическое конструирование оптимального регулятора (А.М.Летов). Синтез оптимальных по точности систем, при случайных сигналах, выполняют по методу Р.Винера, определяя оптимальную передаточную функцию линейной системы из условия минимума среднеквадратичной ошибки, либо используют вариационные методы.

При синтезе оптимальной по точности системы обычно используют квадратичные интегральные оценки типа: и с наложением ограничения на расход энергии – расход энергии на управление при ограничении на управление

При оптимизации при случайных сигналах функционалы типа:

(2)

1. Оптимальная стабилизация режимов ОУ.

Задача синтеза оптимального регулятора состояния формируется следующим образом: задан объект, динамика которого определяется дифференциальными уравнениями состояния известны начальное и конечное значения векторов состояния:

и задан квадратичный функционал в скалярной или векторной форме:

(3) – скалярная форма

или (4)

Q–диагональная матрица весовых коэффициентов для

R–диагональная матрица весовых коэффициентов Требуется определить оптимальное управление , при котором функционал имеет минимальное значение. Получаемое при этом оптимальное управление является линейной функцией координат состояния,

;

при его реализации необходимо оценивать вектор состояния.

Приведенные функционалы (3) являются обобщенными скалярными критериями, полученными в результате объединения обобщенной квадратичной интегральной оценки качества переходного процесса и критерия, характеризующего расход энергии на управление. Весовые коэффициенты накладывают «штрафы» на величину и длительность отклонения координат в переходном процессе.

В инженерной практике часто встречается задача определения оптимальных значений параметров системы, структура и дифференциальные уравнения которой заданы (расчет оптимальной настройки регулятора), при этом могут быть использованы уравнения Эйлера-Лагранжа, уравнения Риккати, частотные методы, метод динамического программирования. Такая задача формулируется следующим образом: заданы дифференциальные уравнения состояния системы

,

,

где ; ; - матрица, элементы которой зависят от искомых параметров настройки (, и – коэффициенты уравнения ОУ); Х, U– векторы координат состояния и управления соответственно.

а) Расчет по уравнениям Риккати

Матрицу оптимальных параметров регулятора можно определить по заданным уравнениям состояния с использованием матричного уравнения Риккати, основываясь на принципе максимума. Функция Гамильтона при использовании функционала (4) при будет иметь вид:

при оптимальном управлении , возьмем производную:

, откуда

,

где - управление, обеспечивающее максимум функции Гамильтона, при положительно определенной матрице R.

Для определения матрицы R используются канонические уравнения

,

решая которые определяют вектор функции и используя уравнение Риккати:

определяют матрицу К(t) и затем оптимальное управление:

Для полностью управляемых объектов при , и , поэтому оптимальное управление принимает вид:

, где

- положительно определенная матрица размерности состоящая из постоянных коэффициентов .

Таким образом для определения оптимальных параметров регулятора надо найти матрицу .

Пример. Определить оптимальное управление обеспечивающее оптимальную стабилизацию режимов работы ОУ, описываемого уравнением которому соответствует уравнения состояния

Краевые условия ; , пусть начальное состояние:

(,)

Функционал критерия оптимальности:

, пусть

Запишем матрицы

; ; ; R=1.

Оптимальное управление

Коэффициенты k₁₂ и k₂₂ определяем из уравнения Риккаити, учитывая, что

Умножив матрицы, получим три алгебраических уравнения:

Т. к. матрица должна быть положительно определенной, то принимаем:

тогда закон оптимального управления:

Т. о. для стабилизации режимов объекта необходимо применять жёсткую ос с коэффициентом и дифференцирующую с коэффициентом . Тогда оптимальная структура системы имеет следующий вид (рис. 15):

Т. о. оптимальным является ПД-регулятор. Рассмотрим влияние весового коэффициента q₂, определяющего «штраф» по производной в функционале качества.

Передаточная функция системы в замкнутом состоянии:

Переходный процесс в системе будет зависеть от корней характеристического уравнения:

при вещественных корнях он будет монотонным.

Если то корни вещественные. Пусть – корни вещественные одинаковые – переходный процесс с минимальным временем регулирования.

Задавая различные значения – получим различные переходные процессы.

б) Расчёт оптимального регулятора с использованием уравнения Беллмана (метод динамического программирования).

Определить оптимальное управление U⁰(x), обеспечивающее оптимальную стабилизацию режима работы объекта, описываемого уравнением

которому соответствует уравнения состояния

; ;

Функционал качества:

Краевые условия заданы:

Координата управления не ограничена.

Для решения задачи запишем уравнение Беллмана:

, если , т.е. функция не зависит от времени.

Для нашей задачи:

Функцию ищем в форме:

Подставим частные производные в уравнения Беллмана:

Составим систему уравнений для определения неизвестных A₁₁, A₁₂, A₂₂.

Подставим найденные коэффициенты в уравнение оптимального управления:

Т. о. получен ПД закон регулирования. Подставим параметры ОУ:

Структура системы представлена на рис. 16:

Коэффициенты обратных связей выберем из условия монотонности переходного процесса, то есть корни характеристического уравнения , должны быть вещественными и отрицательными.

Запишем передаточную функцию системы в замкнутом состоянии:

Характеристическое уравнение системы:

;

-условие вещественных корней, таким образом, если:

; а при - равные корни.

Методические указания.

Задача аналитического констуирования регулятора, обеспечивающего оптимальную точность, может решаться различными методами.

Используя уравнение Риккати ,определено ,что оптимальных законом регулирования для объекта с астатизмом второго порядка является пропорционально-дифференциальный закон в функции фазовых координат. От параметров настройки регулятора зависит характер переходного процесса системы:

, где , .

- переходной процесс монотонный.

Используя уравнение Беллмана для объекта второго порядка с астатизмом 1-го порядка, также рекомендуется ПД-регулятор в функции фазовых координат. Переходный процесс также определяется параметрами настройки регулятора:

; ;

- коэффициент передачи объекта,

- постоянная времени объекта.

В обоих случаях использовался один и тотже квадратичный функционал качества.

Порядок выполнения лабораторной работы.

1.Смоделировать схему представленную на рисунке 15.а для определения оптимальных параметров настройки регулятора для астатического второго порядка ОУ.

2.Задаваясь значениями и подавая на вход системы ступенчатый сигнал ,снять графики изменения Y(t) и

При - начальное состояние, - конечное состояние.

3. Построить фазовый портрет системы:

4.Смоделировать систему представленную на рисунке 17 для определения оптимальных параметров настройки регулятора для ОУ с астатизмом первого порядка.

5.Задаваясь значениями к, и подавая на вход ступенчатый сигнал снять графики У(t) и начальном состоянии ;

- конечном состоянии.

6. Построить фазовый портрет системы.

Вывод: При синтезе оптимальной по точности системы обычно используют квадратичные интегральные оценки типа: и с наложением ограничения на расход энергии . В этом случае в системе обеспечивается так называемая оптимальная стабилизация режимов работы объекта, т.е. обеспечивается минимальное отклонение координат ОУ от заданных значений с учетом ограничений сигнала управления.