Задача 2.
Аналитическое решение:
В данной задаче общая прибыль S складывается из прибылей S1 и S2, полученных от продажи двух частей партии товара. Удельные затраты Сеп зависят только от размера партии товара Qп и не зависят от размера частей партии.
S=S1(Q1,C1)+S2(Q2,C2)=Q1C1+(Qп-Q1)C2-CепQп= Q1C1+Qп C2-Q1C2-CепQп=
=Q1(Cd1-Cd2Q1)+(Qп-Q1)(Cd1-Cd2(Qп-Q1))- CепQп=
=Сd1Q1-Cd2Q12+Cd1(Qп-Q1)-Cd2(Qп-Q1)2 - CепQп;
Из необходимого условия максимума dS/dQ1=0 определим оптимальное значение части партии Q1m.
dS/dQ1 = (Сd1Q1-Cd2Q12+Cd1(Qп-Q1)-Cd2(Qп-Q1)2 - CепQп)̍ =
= Сd1-2 Cd2Q1- Cd1-2 Cd2(Qп-Q1)*(-1)-0= Сd1-2 Cd2Q1- Cd1+2 Cd2(Qп-Q1);
Сd1-2 Cd2Q1- Cd1+2 Cd2(Qп-Q1)=0;
-Q1+ Qп-Q1=0;
Q1m=Qп/2;
Q1m=2,25/2=1,125;
Определим оптимальное значение Q2m по формуле (7).
Q2m= Qп- Q1m=2,25-1,125=1,125;
По формуле (2) определим оптимальное значение С1m и C2m.
С1m=Сd1-Cd2Q1m=12-2*1,125=9,75;
С2m=Сd1-Cd2Qп=12-2*2,25=7,5;
Найдем общую прибыль S по формуле (8).
S=S1+S2=Q1mC1m+Q2mC2m-(Ce1+Ce2/Qп)Qп=12,16;
Прибыль в первой задаче равна 9,625, прибыль во второй задаче равна 12,16. Следовательно, выгодно разбить партию на 2 части и продавать первую часть по цене C1m, вторую часть по цене C2m, при этом получим максимальную прибыль.
Численное решение:
Qп=Qm=2,25;
Cеп=Се1+Се2/Qп=3+0,5/2,25=3,22;
С2=Сd1-Cd2Qп=12-2*2,25=7,5;
|
Q1 |
0 |
0,225 |
0,45 |
0,675 |
0,9 |
1,125 |
1,35 |
1,575 |
1,8 |
2,025 |
2,25 |
|
C1 |
12 |
11,55 |
11,1 |
10,65 |
10,2 |
9,75 |
9,3 |
8,85 |
8,4 |
7,95 |
7,5 |
|
Q2=Qп-Q1 |
2,25 |
2,025 |
1,8 |
1,575 |
1,35 |
1,125 |
0,9 |
0,675 |
0,45 |
0,225 |
0 |
|
Д=Q1C1+Q2C2 |
16,9 |
17,8 |
18,5 |
19,0 |
19,3 |
19,4 |
19,3 |
19,0 |
18,5 |
17,8 |
16,9 |
|
S=Д-CепQп |
9,63 |
10,54 |
11,25 |
11,76 |
12,06 |
12,16 |
12,06 |
11,76 |
11,25 |
10,54 |
9,63 |
Рис.4 График зависимости прибыли S от размера части партии Q1
Задача 3 (дополнительное задание).
Аналитическое решение:
Получим аналитическое
решение для расчета оптимальных размеров
Qi
для общего случая деления партии товара
на n
частей, причем
.
Заменим Qi
на произведение aiQп,
где ai
– коэффициент, на который нужно умножить
Qп,
чтобы получить Qi.
,
тогда коэффициент an
можно выразить через ai
an=(1-
)
Запишем общую прибыль S, которая складывается из прибылей S1, S2,…, Sn, полученных от продажи n частей партии товара.
S=S1+S2+ … +Sn;
При расчетах будем считать, что удельные затраты Сеп зависят только от размера партии товара Qп и не зависят от размера частей партии.
S=a1Qп(Cd1
–
Cd2Qпa1)
+ a2Qп(Cd1
–
Cd2Qпa2)
+ … + (1-
)
Qп
*
*(Cd1
–
Cd2Qп
(1
–
))
– CепQп
(1)
Далее из необходимого условия максимума прибыли dS/dai=0 определим оптимальные значения коэффициентов ai, для этого решим систему уравнений:
После того как возьмем производную, останутся те члены, где содержится элемент, по которому берем производную.
Рассмотрим уравнение
(2)
В (1) от a1
зависят слагаемые Cd1Qпai;
Cd2Qп2a12
; Cd2Qп2(1-
), т.е.
S=a1Qп(Cd1
–
Cd2Qпa1)
+ a2Qп(Cd1
–
Cd2Qпa2)
+ … + (1- a1
-
)
Qп
*
*(Cd1
–
Cd2Qп
(1
– a1
-
))
– CепQп
=
=Cd1Qпa1
–
Cd2Qп2a12
+
Cd1Qпa2
–
Cd2Qп2a22
+…+ Cd1Qп
–
Cd1Qпa1
–
Cd1Qп
-
-
Cd2Qп2(1 – a1 -
)2
– CепQп;
Введем обозначение
D
– сумма всех коэффициентов ai
(i=
)
(3)
Для того чтобы
выделить из an
ту часть, которая зависит от ai,
введем
обозначение Li
– сумма всех коэффициентов ai,
кроме коэффициента, по которому берем
производную, например L1=
-a1
,
(4)
D=Li + ai
Запишем общий
случай нахождения производной
(Cd1Qпai
- Cd2Qп2ai2
+ Cd1Qп
- Cd1Qпai
- Cd1QпLi
-Cd2Qп2(1
– ai
-Li)2
- CепQп)̍
=0;
Cd1Qп - 2Cd2Qп2ai + 0 - Cd1Qп - 0 + 2Cd2Qп2(1 – ai -Li) =0;
-ai + 1 - ai - Li=0;
2ai=1-Li;
;
(5)
ai=1-D (6)
Найдем D из (3) и (4):
Из (6) найдем ai
Следовательно, все коэффициенты ai будут равны в уравнении прибыли.
Qi=aiQп
Чтобы определить цену Сi для каждого Qi нужно Qi подставить в уравнение (2).
ВЫВОД
В этой работе были использованы методы оптимизации стратегий продаж товара при известной кривой спроса. Нужно было решить 2 задачи:
1. Оптимизировать цену и размер партии товара, т.е. найти оптимальный размер партии и оптимальную цену, для продажи этой партии, чтобы получить максимальную прибыль.
После проведенных расчетов получено, что оптимальный размер партии равен 2,25, а оптимальная цена равна 7,5 у.е., при этом будет получена прибыль 9,6 у.е.
2. Определить оптимальную стратегию продажи заданной партии товара. Необходимо разделить партию на 2 части и определить цену для продажи каждой части таким образом, чтобы прибыль была максимальной .
После проведенных расчетов получено, что партию (Qп=2,25) необходимо разделить пополам (по 1,125) и цена для первой партии равна 9,75 у.е., цена для второй партии равна 7,5 у.е. При этом мы получим прибыль 12,16 у.е.
Также было выведено аналитическое решение для расчета оптимальных размеров Qi для общего случая деления партии товара на n частей.
