Задача 2. Оптимальная стратегия продажи заданной партии товара
Рыночная практика показывает, что большую партию товара обычно продают по частям, начиная с высокой цены и постепенно снижая цену по мере насыщения рынка и уменьшения спроса.
В этой задаче считается заданным размер партии товара Qп = Qm, который необходимо продать так, чтобы получить максимальную прибыль. Функции спроса (2) и удельных издержек (3) остаются неизменными из задачи 1.
В данной работе, для простоты всю партию товара Qп разделим на две части Q1 и Q2 (рис.1):
Qп = Q1 + Q2 , (7)
которые продаются в два приема по ценам C1 и C2 . Требуется определить оптимальные размеры частей Q1 и Q2 и их цены C1 и C2 , обеспечивающие максимальный размер получаемой в результате продажи суммарной прибыли S. Задачу требуется решить аналитическим и численным методами.
А. Аналитическое решение задачи.
В данной задаче общая прибыль S складывается из прибылей S1 и S2, полученных от продажи двух частей партии товара. При расчетах будем считать, что удельные затраты Ceп зависят только от размера партии товара Qп и не зависят от размера частей партии.
S = S1(Q1 , C1)+ S2 (Q2 , C2 ) = Q1 C1 + (Qп – Q1 ) C2 – Ceп Qп = . . . (8)
Записывая необходимое условие максимума прибыли dS / dQ1=0 определим оптимальное значение части партии Q1m. Затем, по формулам (7) и (2) найдем оптимальные значения Q2m , C1m и C2m .
Сравнить полученное значение прибыли в задаче 2 с прибылью, рассчитанной в задаче 1.
Б. Численное решение задачи.
Для численного решения поставленной задачи требуется построить график зависимости прибыли S от размера части партии Q1 по формуле (8). Для этого необходимо заполнить табл.1, в которой следует изменять значение Q1 от 0 до Qп . Из графика и таблицы определить Q1, Q2, C1, C2, обеспечивающие максимум доход Д и прибыли S.
Таблица 1
|
Q1 |
0 |
|
|
|
|
Qп |
|
C1 |
Cd1 |
|
|
|
|
С2 |
|
Q2=Qп-Q1 |
Qп |
|
|
|
|
0 |
|
Д=Q1C1+Q2C2 |
|
|
|
|
|
|
|
S=Д-CепQп |
Sm |
|
|
|
|
Sm |
Решение Задача 1.
Аналитическое решение:
1. Cd=12-2Q
Ce=3+0,5/Q
Рис.2 Кривая спроса и кривая удельных издержек.
Определим Q1б/у и Q2б/у, для этого
12-2Q=3+0,5/Q
2Q2-9Q+0,5=0
Q1б/у=0,05
Q2б/у=4,44
2. Определим оптимальное количество изделий (Qm) и оптимальную цену (Cm) по формулам (5) и (6):
Qm=0,5*(12-3)/2=2,25
Cm=0,5*(12+3)=7,5
Определим максимальную прибыль (Sm), для этого подставим Q=Qm в формулу (4). Sm это максимальная прибыль, если всю партию товара Qm продать по цене Cm за штуку.
Sm=(12-3-2*2,25)*2,25-0,5=9,625
Численное решение:
Построим график зависимости прибыли S от размера партии Q по формуле (1). Оптимальное значение количества изделий Qm и цены Cm соответствуют точке максимума на графике прибыли S(Q).
|
Q |
0,05 |
0,25 |
0,45 |
0,65 |
0,85 |
1,05 |
1,25 |
1,45 |
1,65 |
1,85 |
2,05 |
2,25 |
|
S |
-0,06 |
1,63 |
3,15 |
4,51 |
5,71 |
6,75 |
7,63 |
8,35 |
8,91 |
9,31 |
9,55 |
9,63 |
|
Q |
2,45 |
2,65 |
2,85 |
3,05 |
3,25 |
3,45 |
3,65 |
3,85 |
4,05 |
4,25 |
4,45 |
|
S |
9,55 |
9,31 |
8,91 |
8,35 |
7,63 |
6,75 |
5,71 |
4,51 |
3,15 |
1,63 |
-0,06 |
Рис.3 График зависимости прибыли S от размера партии Q.
При оптимальном количестве изделий 2,25 получаем максимальную прибыль 9,625, при цене изделия 7,5.