Тема 20. №1. Исследовать ряды на сходимость: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ё) ; ж) ; з) .

Тема 21. №1. Найти области сходимости степенных рядов: а) ; б) ; в) .

Тема 22. №1. Разложить в ряд Тейлора функцию у = cos по степеням . №2. Разложить функции в ряды Маклорена: а) ln; б) . №3. Разложить функцию в ряд Маклорена и почленным интегрированием данного ряда написать ряд для функции arctg x. №4. Применяя почленное интегрирование, вычислить сумму ряда . №5. Применяя почленное дифференцирование, вычислить сумму ряда . №6. Вычислить с точностью до 10 ^{– 3}: а) ; б) tg 9⁰.

Ответы к аудиторным заданиям.

Тема 1. №1. а) 1; б) – 1; в) ; г) 5; д) 64; е) 2; ж) 3. №2. . №3. Указание. Подобрать число, удобное для сравнения с левой и правой частями неравенства, и лежащее между ними. №4. а) “-“; б) “-“. №5. х (- ∞; - 2) (2; + ∞). №6. min = 1, max = 3. №7. sin α = - , tg α = , ctg α = . №8. а) sin α + cos α; б) 1 - sin ² 2α; в) 8; г) 0; д) – 1. №9. . №10. 18. №11. . №12. . №13. . №14. . №15. . №16. 16. №17. . №18. - . №19. Указание. Воспользоваться определением косинуса с помощью единичной окружности. №20. arccos . Указание. Воспользоваться определением косинуса с помощью единичной окружности и линией котангенсов. Тема 2. №1. а) 6 – 4i; б) 5 – i; в) 2 + i. №2. а) да; б) нет; в) нет; г) нет. №3. 5. №4. а) 1024; б) 2 ^{– 6}(1 - i); в) ± + i, - i; г) ± 2( + i), ± 2(- 1 - i); д) ± 1, ± + i, ± - i. №5. а) ± i; б) 1 ± 3i; в) 2 ± i, - 2 ± i. Тема 3. №1. а) [- 2; 2]; б) (- ∞; - ] [; 3) (3; + ∞); в) ; г) (0; 1) (1; 2); д) (1; + ∞). №2. а) [- 3; + ∞); б) [0; 3]; в) (0; 1].

№3.

Тема 4. №1. а) Гипербола с центром (2;3) и полуосями a = 3, b = 4; б) окружность с центром (4; - 3) и радиусом 6; в) парабола с вершиной (- 4; 4) и ветвями, направленными вправо; г) эллипс с центром (3; - 1) и полуосями a = 4, b = 2. №2. (х + 1) ² + (у – 1) ² = 5. №3. + у ² = 1. №4. х ² – у ² = 1. №5. х ² = - 2у. №6. (х – 3) ² + (у – 4) ² = 25. №7. + у ² = С ². №8. - = 1. Тема 5. №1. N₀(ε) = ; 2; 7; 24. №2. δ(ε) = 2,5ε; 0,25; 0,05. №3. Указание. Воспользоваться определением предела функции по Гейне. №4. а) 0; б) 0; в) 0,5; г) 0; д) ∞; е) ∞; ё) 9; ж) – 3; з) 1; и) 3; й) 2; к) 0; л) 1,5; м) 0,25; н) 1,75; о) 2/3; п) 1,5; р) -0,5; с) 1,5. №5. а) 1; б) 3; в) 0,25; г) 0,5; д) 0,5; е) е ³; ё) е ^{– 4}; ж) е ^{– 4}; з) 3; и) 4/9; й) е ^{– 1}; к) 2,5. №6. 128 / 729. Тема 6. №1. а) х = 4 – точка разрыва 2-го рода; б) х = 0 – точка разрыва 1-го рода; в) х = 3 – точка разрыва 2-го рода; г) х = 0 – точка устранимого разрыва; д) х = , х = - точки разрыва 2-го рода, х = - точки устранимого разрыва, п Z. Тема 7. №1. а) ; б) – 2sin 2x; в) - . №2. а) 14х ⁶ – 10х + ; б) ; в) ; г) - ; д) - ; е) cos; ё) ; ж) ; з) - ; и) – ln 3 · sin 2x · ; й) ; к) . №3. у’ = . №4. 120х + + 2 ^х ln ³2. №5. а) sin; б) . Тема 8. №1. ∆у = (6х ² + 6х + 6)∆х + (6х + 3)∆х ² + 2∆х ³, dy = (6х ² + 6х + 6)dx. №2. а) 0,77; б) 2,995. Тема 9. №1. а) ; б) ; в) 0; г) 0; д) ∞; е) ; ё) 1; ж) 1; з) 1. Тема 10. №1. х = - 2, у = х – 1, у = - х + 1. №2. Возрастает при х (- ∞; - 1) (5; + ∞), убывает при х (- 1; 5). №3. х ₁ = - точка локального максимума, у (х ₁) = ; х ₂ = 2 – точка локального минимума, у (х ₂) = 0. №4. Выпукл вверх при х (- ∞; - 2), выпукл вниз при х (- 2; + ∞); М (- 2; 64) – точка перегиба. №5. а) б)

в) г)

д)

Тема 11. №1. а) х ² + у ² < 9 – круг с центром (0; 0) и радиусом 3; б) | х + у | ≤ 1 – полоса между прямыми х + у = - 1 и х + у = 1. №2. а) z_x' = 2х + 3 - , z_у' = - 1 + ; б) z_x' = , z_у' = . №3. а) = 6 + 2у, = 2х + 4у – 4, = 4х – 6у; б) = - sin, = - sin, = - sin, = - sin + cos, = - sin - cos, = sin - cos. №4. (4х – у)dx + (9у ² – х)dy.

№5. 1,509. №6. Увеличится на 10,25%. №7. - . №8. . №9. Точка М₀ лежит на линии уровня х ² + у ² = 5, grad z (M₀) = - 2i – 4j, | grad z (M₀) | = 2.

Тема 12. №1. а) min y = y(- 1) = y(1) = 2, max y = y(- 3) = 66; б) min y = y(0) = y(1) = - 4, max y = y(4) = 0. №2. Через 1 неделю. №3. 13. №4. а) М(- 4; 1) – точка минимума, z (М) = - 1; б) М₁(0; 0) – точка минимума, z (М₁) = 0, М₂(1; 0), М₃(- 1; 0) – точки макси-мума, z (М₂) = z (М₃) = . №5. min z = z = , max z = z(0; 1) = 7. №6. М (- 1,5; - 1,5) – точка минимума, z(М) = - 4,75. №7. (90; 60). Тема 13. №1. а) 2 - + С; б) ln + C; в) – 2ctg 2x + C; г) tg x – x + C. №2. а) ln |x ² – 5| + C; б) arctg x ³ + C; в) 2+ С; г) + С; д) arcsinx + C; е) arctg + C. №3. а) – x cos x + sin x + C; б) x ln x – x + C; в) (10х ² – 12х – 1) sin 2x + (5x – 3) cos 2x + C; г) arctg x - + C; д) – х ctg x + ln |sin x| + C; е) - + ln + C; ё) (sin x + cos x) е ^х + С. №4. а) ln + C; б) х + 2,5 ln |х ² – 6х + 10| + 5 arctg (х – 3) + С; в) ln - + arctg x + C; г) ln + arctg x + + С; д) ln + arctg + C. №5. а) cos ⁷x - cos ⁵x + C; б) х - sin 4x + C; в) sin 2x - sin 8x + C; г) ln + C. №6. а) + + 3 + 3 ln | - 1| + C; б) arcsin + + C; в) + С; г) arccos + C. Тема 14. №1. а) 2; б) 4 – 2; в) 1 . Тема 15. №1. а) 1; б) ; в) расходится; г) . Тема 16. №1. а) 2; б) 6π. №2. . №3. . Тема 17. №1. у = С (х + 1)е ^{– х}. №2. у = . №3. = ln |Cx|. №4. (х – 2)² – у ² = 4. №5. а) у = ; б) у = (х + arcsin x). №6. а) у ^{– 3} = С cos³x – 3 sin x cos²x; б) у = . №7. а) х ³ + 2ху – 3у = С; б) + у = 2. Тема 18. №1. а) у = - ln |cos x|; б) у = х ³ + 3х; в) у = ; г) у = ±. Тема 19. №1. а) у = С₁е ^х + С₂е ^{– 2х}; б) у = (С₁ + С₂х) е ^х; в) у = (С₁cos 3x + C₂sin 3x) e ^2x; г) у = (С₁ + С₂х) cos x + (C₃ + C₄x) sin x. №2. а) у = С₁cos x + C₂sin x + (2х – 2) е ^х; б) у = С₁ + С₂х + (С₃ + х) е ^{– х} + х ³ – 3х ². Тема 20. №1. а) сходится; б) расходится; в) расходится; г) сходится; д) сходится; е) сходится; ё) сходится; ж) сходится; з) сходится. №2. а) сходится условно; б) сходится условно; в) сходится абсолютно. Тема 21. №1. а) – 1 < x ≤ 1; б) – 5 ≤ x < 3; в) - ∞ < x < +∞; г) х = 0; д) ≤ x ≤. Тема 22. №1. = (- 3 < x < - 1). №2. а) (- ∞ < x < +∞); б) 1 + ( | х | < 1); в) . Указание. Воспользоваться формулой суммы геометрической прогрессии; г) ( | х | < ). Указание. Разложить данную дробь на простейшие. №3. arcsin x = х + . №4. ln. №5. sin 1 ≈ 0,8417 с точностью до 0,0002. №6. 0,999848. №7. 3,1416.

Ответы к домашним заданиям.

Тема 1. №1. а) ; б) 0. №2. log ₃ 4. №3. “+”. №4. D(y) = (0; 2) (3; + ). №5. tg = - , cos = , sin = - . №6. а) 2cosec; б) ; в) ; г) 1; д) . №7. 9. №8. 4. Тема 2. №1. а) – 0,5 + 1,5i; б) – 1; в) 2i; г) 8; д) + i, - 1 + i, - - i; е) 1 ± i, - 1 ± i. №2. а) ± 2i; б) 3 ± 3i; в) 4 ± i, - 4 ± i. Тема 3. №1. а) Ø; б) (- 5; - 4) (0; 5); в) (0; 1) (1; 3). №2. а) (- ∞; 9]; б) [3^{- 16}; + ∞). №3.

Тема 4. №1. а) эллипс с центром (2; - 1) и полуосями a = 2, b = ; б) парабола с вершиной (2; - 3) и ветвями, направленными влево; в) окружность с центром (- 5; 2) и радиусом 4; г) гипербола с центром (- 5; 1) и полуосями a = 8, b = 6. №2. х ² + (у – 4) ² = 16. №3. + = 1. №4. = 1. №5. у ² = 4х. Тема 5. №1. N₀(ε) = ; 1; 3; 8. №2. δ(ε) = 2ε; 0,2; 0,06. №4. а) 3; б) 4; в) 0,5; г) - ; д) ; е) при х → ∞; - 2 при х → - ∞; ё) 1; ж) ; з) – 1; и) ; й) – 3; к) 4; л) ; м) 6; н) 1; о) е ^{– 4}; п) е ¹⁰; р) – 2; с) ; т) ; у) - . Тема 6. №1. а) х = 1 – точка разрыва 1-го рода; б) х = - 1 – точка устранимого разрыва, х = 1 – точка разрыва 2-го рода; в) х = πп – точки устранимого разрыва, х = + πп – точки разрыва 2-го рода, п Z. Тема 7. №1. а) ; б) 3^х ln 3. №2. а) - ; б) ; в); г) 6 ln 2 · · x + ctg x; д) ; е) + arctg x · x ^{arctg x – 1}. №3. . №4. а) cos ; б) ln ⁿ 2 (2 ^x + (- 1) ⁿ2 ^{– x}); в) . Тема 8. №1. е ^{3х – 5} dx. №2. а) 1,077; б) 1,0349. Тема 9. №1. а) 2; б) 0,5; в) 1; г) ; д) 3; е) . Тема 10. №1. у = 2х + при х → + ∞, у = 2х - при х → - ∞. №2. Возрастает при х (- 2; 0), убывает при х (0; 2). №3. у_max = 0,2. №4. Выпукла вниз при х (- ∞; - ) (1; + ∞), выпукла вверх при х (-; 0) (0; 1), х = - - точка перегиба, в точке х = 0 перегиба нет. №5. а) б) в) г) Тема 11. №1. х ² + у ² > 4 – внешность круга с центром (0; 0) и радиусом 2. №2. и_х' = - , и_y' = - , и_z' = . №3. 9,36. №4. . №5. grad z (M₀) = 0,3i , | grad z (M₀) | = 0,3. Тема 12. №1. min y = y = - 9,75, max y = y(8) = 24. №2. 0,3 м; V = 0,486 м ³. №3. . №4. а) М(1; 2) – точка минимума, z(М) = - 7; б) М - точка максимума, z(М) = . №5. z_min = ln (4 - ), z_max = ln (4 + ). №6. z_min (1; 1) = 2. №7. (0; 500). Тема 13. №1. а) - 3х + 6 - ln |x| + C; б) 5 tg x + 2 ctg x + C; в) + С; г) 2 + ln ²x + С; д) + С; е) arcsin + C; ё) х arcsin x + + C; ж) (х ² – 2) sin x + 2x cos x + C; з) х ² + х sin 2x + cos 2x + C; и) - ln; й) е ^х (sin x – cos x) + C; к) 5х + ln + C; л) х ³ + х ² – х + arctg + C; м) 3 ln + 2 arctg + C; н) + + 2 ln + C; о) + arctg + C; п) ln + arctg + C; р) + - arctg x + С; с) cos ⁸ cos ⁶ + C; т) + ; у) + + С; ф) sin + 3 sin + C; х) ln + C; ц) – 2 arctg + C; ч) + С; ш) 2 arcsin x (2 – x ²) + C; щ) arcsin + C. Тема 14. №1. а) 33; б) ; в) (4 - 3) – ln. Тема 15. №1. а) π; б) расходится. Тема 16. №1. а) 20; б) π. №2. . №3. . Тема 17. №1. а) ln |x| = C + ; б) 2 = 1 + е ^х; в) у = С; г) у = х; д) у = х (С + sin x); е) у = ; ж) у (е ^х + Се ^2х) = 1; з) х ³у – 2х ²у ² + 3у ⁴ = С. Тема 18. №1. а) у = 3 ln x + 2х ² – 6х + 6; б) у = х ²; в) 2у ² – 4х ² = 1. Тема 19. №1. а) у = С₁е ^2х + е ^{– х} (С₂cosx + C₃sinx); б) у = С₁е ^х + С₂е ^{– х} + С₃cos x + + C₄sin x; в) у = С₁ + С₂х + С₃х ² + е ^3х (С₄ + С₅х); г) у = С₁е ^х + С₂е ^{– х} + С₃е ^2х + С₄е ^{– 2х}; д) у = (С₁ + С₂х) е ^{– 2х} + е ^2х; е) у = С₁cos x + C₂sin x + C₃cos 2x + C₄sin 2x x cos x. Тема 20. №1. а) расходится; б) расходится; в) сходится условно; г) расходится; д) сходится абсолютно; е) расходится; ё) сходится; ж) расходится; з) сходится. Тема 21. №1. а) – 1 ≤ х < 1; б) 2 ≤ х < 3; в) ≤ х ≤ . Тема 22. №1. cos = . №2. а) 2; б) х ^п ( | х | < 1). №3. arctg x = х ^{2п + 1}. №4. ( | х | < 1). №5. 1 + ln (1 – х) ( | х | < 1). №6. а) 0,607; б) 0,158.

Примерные варианты контрольных работ: Контрольная работа №1.

1. Найти все значения и изобразить их на плоскости.

2. Построить кривые: а) у = 3│ln (x – 2) + 1│ - 3; б) 25х ² – 64у ² + 50х + 128у – 1639 = 0.

3. Вычислить пределы: а) ; б) ; в) ; г) . 4. Найти производную функции у = . 5. Вычислить приближённо с помощью дифференциала . 6. Используя правила Лопиталя, вычислить предел . 7. Исследовать функцию у = и построить её график.

Контрольная работа №2.

1. Найти экстремумы функции z = 2x³ + 6xy ² – 30x – 24y.

2. Найти неопределённые интегралы и вычислить определённые интегралы: а) ; б) ; в) ; г) .

3. Найти общие интегралы дифференциальных уравнений и, где указано, решить задачу Коши: а) 4x dx – 3y dy = 3x ²y dy - 2xy ²dx; б) y’ = + 4 + 2; в) y’ - = x ², y (1) = 0;

г) 3x ²e ^y dx + (x ³e ^y – 1) dy =0. 4. Исследовать на сходимость числовые ряды: а) ; б) . 5. Найти промежуток сходимости степенного ряда: .

Итоговый контроль знаний студента на экзамене (или зачёте) зависит от текущей успеваемости студента в течение семестра во время его самостоятельной работы на практических занятиях (включая работу у классной доски) и от оценки за итоговую контрольную работу, которая предлагается на последнем занятии (время выполнения – 180 минут). Нормативы для контрольной работы: 12 безупречно выполненных и оформленных заданий – «превосходно»; 11 или 12 выполненных заданий с правильными решениями, но с незначительными недочётами – «отлично»; 10 безупречно выполненных и оформленных заданий – «очень хорошо»; 8 или 9 выполненных заданий с правильными решениями, но с незначительными недочётами – «хорошо»; 5-7 выполненных заданий с правильными решениями, но с незначительными недочётами – «удовлетворительно»; менее 5-ти правильно выполненных заданий – «неудовлетворительно»; ни одного правильно выполненного задания – «плохо».