Тема 20. Числовые ряды. А) Знакоположительные ряды. №1. Исследовать ряды на сходимость: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ё) ; ж) ; з) .

б) Знакопеременные ряды. №2. Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимости: а) ; б) ; в) .

Тема 21. Степенные ряды. №1. Определить области сходимости степенных рядов: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Тема 22. Ряды Тейлора и Маклорена. а) Разложение функций в ряд Тейлора. №1. Разложить функцию у = в ряд Тейлора по степеням (х + 2). б) Разложение функций в ряды Маклорена с помощью основных разложений. №2. Разложить функции в ряды Маклорена: а) ; б) cos ²x; в) ; г) . в) Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. №3. Разложить функцию в ряд по степеням х и почленным интегрированием данного ряда написать ряд для функции arcsin x. №4. Применяя почленное дифференцирование, вычислить сумму ряда .

г) Приближённые вычисления с помощью рядов.

№5. Вычислить приближённо sin 1 и оценить погрешность вычисления. №6. Вычислить cos 1⁰ с точностью до 10 ^{– 6}. №7. Пользуясь тождеством = arcsin, найти число π с точностью до 10 ^{– 4}.

Домашние задания:

Тема 1. №1. Вычислить: а) 16; б) lg│cos π│ + log ₄ 1.

№2. Что больше: log ₃ 4 или log _0,5 7? №3. Определить знак числа . №4. Найти область определения функции у = lg . №5. Дано: ctg = - , 630⁰ < < 720⁰. Найти остальные функции этого угла. №6. Упростить: а) ; б) ; в) cos; г) 8 cos cos cos ; д) sin. №7. Дано: tg + ctg = 3. Найти sec² + cosec².

№8. Дано: cos = , < < 2π. Найти tg 2.

Тема 2.

№1. Вычислить: а) ; б) ; в) (1 + i)(1 + i); г) ; д) ; е) . №2. Решить уравнения: а) х ² + 4 = 0; б) х ² – 6х + 18 = 0; в) х ⁴ – 30х ² + 289 = 0.

Тема 3. №1. Найти области определения функций: а) f (x) = + ; б) f (x) = ; в) (3 + 5х – 2х ²). №2. Найти множества значений функций: а) f (x) = 5 + 4х – х ²; б) f (x) = . №3. Построить графики функций: а) у = |х ² - 5|х| + 6| - 2; б) у = 2| log₂ |х - 1||.

Тема 4. №1. Построить кривые: а) х ² + 2у ² – 4х + 4у + 2 = 0; б) у ² + 6у + 2х + 5 = 0; в) х ² + у ² + 10х - 4у + 13 = 0; г) 9х ² – 16у ² + 90х + 32у – 367 = 0. №2. Составить уравнение окружности, проходящей через точки пересечения окружнос- ти х ² + у ² + 4х – 4у = 0 с прямой у = - х и точку М₁(4; 4). №3. Написать каноническое уравнение симметричного относительно осей координат эллипса, который проходит через точку М(5/4; 1) и имеет эксцентриситет ε = 3/5. №4. Дан эллипс = 1. Составить уравнение гиперболы, вершины которой нахо- дятся в фокусах, а фокусы в вершинах данного эллипса. №5. Составить каноническое уравнение параболы, если её фокус находится в точке пересечения прямой 4х – 3у – 4 = 0 с осью Ох.

Тема 5. №1. Доказать, что . Определить, начиная с какого номера члены данной последовательности будут отличаться от её предела на величину, меньшую 0,1; 0,01; 0,001. №2. Доказать, что = - 2. Определить, на какую величину должен отличаться аргумент х от - 1, чтобы данная функция отличалась от своего предела на величину, меньшую чем 0,1; 0,03.

№3. Доказать, что не существует. №4. Вычислить: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е*) ; ё) ; ж) ; з*); и) ; й) ; к) ; л) ; м) ; н) ; о) ; п) ; р) ; с) ; т) ; у) .

Тема 6. №1. Исследовать на непрерывность функции: а) у = ; б) у = ; в) у = .

Тема 7. №1. Используя определение, найти производные функций: а) у = tg ; б) у = 3^х. №2. Найти производные функций: а) у = ; б) у = ; в) у = ln (3x ² + ); г) у = + ln sinx; д) у = ln arctg ; е) у = х ^{arctg x}. №3. Найти производную у’_x , если arcsin y = x ²y ³ – 7yx ².

№4. Найти производные п-го порядка: а) у = cos x; б) у = 2 ^х + 2 ^{– х}; в) у = .

Тема 8. №1. Найти дифференциал функции у = . №2. Найти приближённые значения: а) (1,015)⁵; б) tg 46⁰.