Тема 13. Неопределённый интеграл. А) Непосредственное интегрирование. №1. Найти интегралы: а) ; б) ; в) ; г) .

б) Метод замены переменной. №2. Найти интегралы: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) . в) Интегрирование по частям. №3. Найти интегралы: а) ; б) ; в) ; г) arctg x dx; д) ; е) ; ё) dx. г) Интегрирование рациональных дробей. №4. Найти интегралы: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

д) Интегрирование тригонометрических выражений. №5. Найти интегралы: а) sin ³x dx; б) sin ²x dx; в) ; г) .

е) Интегрирование иррациональных выражений. №6. Найти интегралы: а) ; б) ; в) ; г) .

Тема 14. Определённый интеграл. №1. Вычислить интегралы: а) dx; б) ; в) dx.

Тема 15. Несобственные интегралы. №1. Вычислить интегралы или установить их расходимость: а) ; б) ; в) ; г) ln X dx.

Тема 16. Геометрические приложения определённого интеграла. а) Площади фигур. №1. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями: а) у = х ², у = 2 – х ²; б) + = 1.

б) Объёмы тел вращения.

№2. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограни- ченной линиями у ² = 9х, у = 3х. №3. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограни- ченной линиями = 1, у = ± b.

Тема 17. Дифференциальные уравнения первого порядка. а) Уравнения с разделяющимися переменными. №1. Решить уравнение xy dx + (x + 1) dy = 0. №2. Решить уравнение (х ² – 1)у’ + 2ху ² = 0 и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию у (0) = 1.

б) Однородные уравнения. №3. Решить уравнение ху’ = у - х. №4. Решить задачу Коши: (х ² + у ²) dx – 2xy dy = 0, y (4) = 0.

в) Линейные уравнения. №5. Решить уравнения и, где указано начальное условие, найти частное решение: а) х ²у’ + ху + 1 = 0; б) у’ - 1 – х = 0, у (0) = 0.

г) Уравнения Бернулли. №6. Решить уравнения и, где указано начальное условие, найти частный интеграл: а) у’ = у ⁴cos x + y tg x; б) (1 – х ²) у’ + 2ху = ху ², у (0) = 0,5.

д) Уравнения в полных дифференциалах. №7. Решить уравнения и, где указано начальное условие, найти частный интеграл: а) (3х ² + 2у) dx + (2x – 3) dy = 0; б) dx + dy = 0, у (0) = 2.

Тема 18. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. №1. Решить уравнения и, где указаны начальные условия, найти частный интеграл: а) у’’ = , у = , у’ = 0; б) (1 + х ²) у’’ – 2ху’ = 0, у (0) = 0, у’ (0) = 3; в) у’’ + 2уу’ = 0, у (0) = 2, у’ (0) = - 4; г) уу’’ + (у’ ) ² = 0. Тема 19. Линейные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. а) Однородные уравнения. №1. Найти общие решения уравнений: а) у’’ + у’ – 2у = 0; б) у’’ - 2у’ + у = 0; в) у’’ - 4у’ + 13у = 0; г) у ⁽⁴⁾ + 2у’’ + у = 0.

б) Неоднородные уравнения. №2. Найти общие решения уравнений: а) у’’ + у = 4хе ^х; б) у’’’ + у’’ = 6х + е ^{– х}.