Тема 1. Трансцендентное исчисление. А) Логарифмы.

№1. Вычислить: а) log ₁₂ 3 + log ₁₂ 4; б) log45 – log3; в) log ₆₄ 128; г) 100; д) 49; е) ; ж) .

№2. Вычислить log ₅ 9,8, если lg 2 = a, lg 7 = b.

№3. Доказать неравенство: log ₄ 6 > log ₆ 4.

№4. Определить знаки чисел: а) log _1,7 ; б) log _0,3.

№5. Найти область определения функции у = lg. б) Тригонометрические преобразования. №6. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения 2 – sin . №7. Дано: cos = - , π < < . Найти остальные функции числа . №8. Упростить: а) ; б) sin ⁴ + cos ⁴ + sin ² cos ²; в) ; г) tg (π - ) + sin (2π - ) cos - cos ²(π - ); д) cos 20⁰ – sin 20⁰10⁰.

№9. Выразить через tg выражение sin ⁴ - cos ⁴. №10. Дано: tg + ctg = 3. Найти tg ³ + ctg³ . №11. Дано: ctg 2 = , 0 < < . Найти cos ². №12. Дано: cos (3π - 4) = . Найти 27 cos ⁴ 2. №13. Дано: sin = . Найти 4 tg ^2. №14. Дано: sin = . Найти 16 sin ^4. №15. Дано: ctg = 3. Найти sin . №16. Дано: cos 2 = . Найти 9.

№17. Дано: = 2arcctg (- 2) - . Найти sin 3. №18. Вычислить tg (arcsin (- 0,8)). №19. Построить на единичной окружности arccos . №20. Что больше: arccos или arcctg ?

Тема 2. Комплексные числа. №1. Выполнить действия: а) (2 + 3i) + (4 – 7i); б) (1 – i)(3 + 2i); в) . №2. Заданы ли следующие комплексные числа в тригонометрической форме: а) 2; б) - 3; в) 5; г) 4. №3. Записать комплексное число - 3 – 4i в тригонометрической форме. №4. Вычислить, используя тригонометрическую форму числа: а) ; б) (1 + i) ^{– 5}; в) ; г) ; д) . №5. Решить уравнения: а) х ² + 1 = 0; б) х ² – 2х + 10 = 0; в) х ⁴ – 6х ² + 25 = 0.

Тема 3. Функции и их графики.

а) Свойства функций. №1. Найти области определения функций: а) f (x) = ; б) f (x) = ; в) f (x) = + 3arccos; г) f (x) = log ₂(2 – x) + 2log _x5; д) f (x) = log _0,5 log ₃ x.

№2. Найти множества значений функций:

а) f (x) = |х + 1| - 3; б) f (x) = ; в) f (x) = .

б) Преобразование графиков. №3. Построить графики функций: а) у = - 2 ; б) у = х ² - 5|х| + 6; в) у = |2(х – 1)² - 4|х - 1| - 16| + 3; г) у = .

Тема 4. Кривые 2-го порядка. а) Задачи на построение кривых. №1. Построить кривые: а) 16х ² – 9у ² – 64х + 54у – 161 = 0; б) х ² + у ² – 8х + 6у – 11 = 0; в) у ² – 8у – 4х = 0; г) х ² + 4у ² – 6х + 8у – 3 = 0.

б) Задачи на составление уравнений. №2. Составить уравнение окружности, проходящей через точки М₁(1; 2), М₂(0; - 1), М₃(- 3; 0). №3. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки М_1, М_2. №4. Написать каноническое уравнение гиперболы, симметричной относительно осей координат, если она проходит через точку М₁(; ), а эксцентриситет равен . №5. Написать уравнение параболы, если она проходит через точки пересечения пря- мой х + у = 0 и окружности х ² + у ² + 4у = 0 и симметрична относительно оси Оу. №6. Составить уравнение окружности, проходящей через точки М₁(7; 7), М₂(- 2; 4), если её центр лежит на прямой 2х – у – 2 = 0. №7*. Написать уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно расстоя-нию между концами большой и малой осей. №8. Составить уравнение гиперболы, если её асимптоты заданы уравнениями у = ± х и гипербола проходит через точку М(10; - 3).

Тема 5. Пределы. а) Определения пределов. №1. Доказать, что . Определить, начиная с какого номера члены данной последовательности будут отличаться от её предела на величину, меньшую ε = 0,1; 0,01; 0,001. №2. Доказать, что = - 1. Определить, на какую величину должен отличаться аргумент х от - 1, чтобы данная функция отличалась от своего предела на величину, меньшую чем ε = 0,1; 0,02.

№3. Доказать, что не существует.

б) Алгебраические приёмы раскрытия неопределённостей. №4. Вычислить: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) (2х ⁵ – 10х ³ – 1); ё) ; ж) ; з) ; и) ; й) ; к) ; л) ; м) ; н) ; о) ; п) ; р) ; с) . в) Замечательные пределы. №5. Вычислить: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ё) ; ж) ; з) ; и) ; й) ; к) .

г) Вычисление пределов с помощью эквивалентностей. №6. Вычислить: .

Тема 6. Непрерывность функции. №1. Исследовать на непрерывность функции: а) у = ; б) у = 3 - ; в) у = ; г) у = ; д*) у = .

Тема 7. Производная функции. а) Вычисление производных с помощью определения. №1. Используя определение, найти производные функций: а) у = ; б) у = cos 2x; в) у = .

б) Практикум по вычислению производных. №2. Найти производные функций: а) у = 2х ⁷ – 5х ² + 2 + 1; б) у = + ; в) у = ln x; г) у = - arctg x; д) у = ; е) у = sin; ё) у = arcsin + ; ж) у = ln (х + ); з) у = ln; и) у = ; й) у = ; к) у = .

в) Производная неявной функции. №3. Найти производную у’_x , если ух + log ₂(х ² + у ²) – sin (ху) = 0.

г) Производные высших порядков. №4. Найти производную у’’’, если у = 5х ⁴ - + 2 ^х. №5. Найти производные п-го порядка: а) у = sin x; б) у = ln x.

Тема 8. Дифференциал. №1. Найти полное приращение функции у = 2х ³ + 3х ² + 6х и её дифференциал, сравнить их. №2. Найти приближённые значения: а) arctg 0,97; б) .