5.2. Уравнение линии

В аналитической геометрии линия рассматривается как множество точек, обладающих не­которым свойством. Например, окружность – это множество точек плоскости, находящихся на равном расстоянии от некоторой точки, которая называется центром окружности.

Возьмем на плоскости какую-нибудь линию и рассмотрим ее произвольную (“текущую”) точку. Координаты х и у этой точки связывает условие, характеризующее любую точку данной линии.

Зависимость, связывающая координаты х и у текущей точки линии, называется уравнением данной линии. Этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на ней.

Пример 5.3. Составить уравнение окружности с центром и ра­диусом R. Рассмотрим на окружности произвольную точку (рис. 5.5).

По определению окружности, расстояние от точки М до ее цент­ра С есть величина постоянная, равная радиусу, т.е. CM = R. Это условие выполняется для всякой точки окружности и не выполняется ни для какой точки, не лежащей на окружности.

По формуле (5.1) расстояния между двумя точками получаем

.

Откуда следует, что

.

(5.6)

В этом уравнении числа , , R – координаты центра и ра­диус окружности. Например, – уравнение ок­ружности с центром в точке и радиусом ; – уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R = 3.

5.3. Уравнение прямой линии. Исследование уравнения первой степени

Рассмотрим прямую , не параллельную оси Оy (рис. 5.6). Обозначим точку пересечения этой прямой с осью Oy.

Угол между положительным направлением оси Ох и прямой называется углом наклона прямой к оси Ох. Он отсчитывается от оси Ох против часовой стрел­ки.

Тангенс угла наклона прямой к оси Ох назы­вается угловым коэффициентом прямой. Угловой коэффициент прямой обозначается .

Выведем уравнение прямой линии. Рассмотрим произвольную точку прямой. ON = х, MN = у. Через точку В проведем отрезок BL параллельно ON (рис.5.7).

Для прямоугольного треугольника MLB имеем:

, , .

Из равенства

получаем

,

отсюда следует

,

или

.

(5.7)

Уравнение (5.7) называется уравнением прямой с угловым коэффици­ентом. Здесь b – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Оу.

Заметим, что в уравнение прямой линии переменные х и у входят в первой степени.

Пример 5.4. Пусть , b = – 3, тогда , и уравнение прямой имеет вид y = x – 3.

Рассмотрим общее уравнение прямой. Оно имеет вид

,

(5.8)

где А, В и С – произвольные числа, причем А и В одновремен­но не равны нулю. Пусть . В этом случае уравнение можно разрешить относительно у:

.

Обозначим отношение через k, отношение через b, получим – уравнение прямой линии с угловым коэффициентом.

Таким образом, всякое уравнение первой степени относительно неизвестных х и у определяет прямую линию.

Рассмотрим частные случаи уравнения (5.8).

1. Если , тогда уравнение имеет вид , или . Таким образом, получаем уравнение прямой, проходящей через начало координат

.

(5.9)

Прямая изображена на рис 5.8. ВСТАВИТЬ

2. Если , тогда уравнение имеет вид , или . Обозначив , получаем уравнение прямой, параллельной оси

.

(5.10)

Прямая изображена на рис 5.9. ВСТАВИТЬ

3. Если , тогда уравнение имеет вид , или . Обозначив , получаем уравнение прямой, параллельной оси

.

(5.11)

Прямая изображена на рис (5.10.) ВСТАВИТЬ