Балаковский институт техники, технологии и управления (филиал)

ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет»

Экспериментальное построение частотных характеристик динамических звеньев

Методические указания

по выполнению лабораторной работы

для студентов специальности 120100

всех форм обучения

Одобрено

редакционно-издательским советом

Балаковского института техники,

технологии и управления

Балаково 2010

Цель работы

Изучить метод и получить практические навыки экспериментального исследования частотных характеристик элементов систем управления.

Основные понятия

Частотная характеристика является динамической характеристикой элемента системы управления. Она описывает прохождение гармонических сигналов через динамическое звено.

Подадим на вход линейного элемента синусоидальный сигнал

.

После окончания переходного процесса на выходе получим сигнал той же частоты, но другой амплитуды и сдвинутый по фазе на угол (рис. 1):

.

Рассмотрим представление гармонических сигналов на комплексной плоскости. Вектор А, вращающийся вокруг начала координат на комплексной плоскости со скоростью _, может быть представлен комплексным выражением (рис. 2). На основании уравнения Эйлера

его можно разложить на две составляющие .

Отсюда косинусоидальный и синусоидальный сигналы можно представить в виде вещественной и мнимой частей вращающегося на комплексной плоскости вектора, длина которого равна амплитуде сигнала , а скорость вращения равна круговой частоте гармонических сигналов. На временном графике отличие синусоидального и косинусоидального сигналов заключается в отставании фазыотносительнона, который определяется множителем .

Выходной сигнал также может быть представлен вращающимся с той же скоростью вектором, имеющим амплитуду и сдвинутым по отношению к векторуА по фазе на угол  , _{(см. рис.2)}.

Будем подавать на вход элемента синусоидальные сигналы x(t) с постоянной амплитудой А и разными частотами . Для каждой частоты мы получим свое значение амплитудыВ и фазы выходного сигнала .

Отношение выходного сигнала к входному сигналу в комплексной форме называется амплитудно - фазовой частотной характеристикой АФЧХ исследуемого элемента . Она показывает зависимость коэффициента передачи элемента (отношение амплитуд выходного сигнала к входному) и разности фаз между ними от частоты входного сигнала

.

Зависимость коэффициента передачи элемента от частоты называется амплитудной частотной характеристикой АЧХ .

Зависимость фазы между выходным и входным сигналом от частоты называется фазо-частотной характеристикой элемента ФЧХ

.

АФЧХ может быть получена из передаточной функции заменой p на j

.

Геометрически АФЧХ изображается на комплексной плоскости в полярных координатах и представляет собой годограф, показывающий зависимость коэффициента передачи и сдвига фазы от частоты входного сигнала (Рис. 3).

Годограф АФЧХ может быть построен и в декартовых координатах, для чего вводятся вещественная и мнимаячастотные характеристики.

Подставим в передаточную функцию и запишем АФЧХ в виде отношения полиномов

.

Разложим числитель и знаменатель на вещественные и мнимые составляющие

.

Для устранения мнимой части в знаменателе умножим числитель и знаменатель на величину, сопряженную знаменателю

Таким образом, АФЧХ мы представили в виде суммы двух составляющих вещественной и мнимой частотных характеристик

.

Из них могут быть получены амплитудная и фазовая частотные характеристики элемента

, .

В теории управления широко используются логарифмические амплитудная и фазовая характеристики. Амплитудная фазовая частотная характеристика может быть записана в следующих видах

.

Прологарифмируем АФЧХ

.

Мы получили комплексное число, вещественная часть которого показывает зависимость логарифма модуля от частоты, а мнимая часть – фазы от частоты.

Десятичный логарифм амплитудной частотной характеристики называется логарифмической амплитудной характеристикой (рис. 5,6). Десятичный логарифм отношения амплитуд выражается в белах. Десятичный логарифм от 10 является одним белом. Обычно анализируется отношение мощностей. При отношении сигналов 10, мощность увеличивается враз или на 2 бела. Эта единица измерения большая и в практике используют децибелы: 1 бел = 10 децибел, 2 бел = 20 децибел. Поэтому логарифмическая частотная характеристика определяется выражением

(дБ).

Основным достоинством логарифмических характеристик является возможность их построения практически без расчетов по виду передаточной функции.

При ручном построении логарифмические характеристики удобно строить на миллиметровой бумаге. По оси абсцисс откладывается угловая частота в логарифмическом масштабе (удобно использовать масштаб логарифмической линейки). Нижняя и верхняя границы частотного диапазона определяются рабочим диапазоном исследуемой системы, например

Причем, нижняя граница всегда на порядок (в 10 раз) меньше следующего значения и никогда не доходит до нуля (кроме того, не существует).

Нуль оси ординат может проходить через ось абсцисс при любом значении круговой частоты , определяемом рабочим диапазоном частот. Обычно ось ординат проводят несколько левее самой нижней сопрягающей частоты.

Частотные характеристики апериодического звена первого порядка

Передаточная функция звена первого порядка имеет вид

.

Для получения частотной характеристики сделаем замену в передаточной функции , умножим полученное выражение на сопряженный знаменателю сомножитель, разделим полученную частотную характеристику на реальную и мнимую составляющие

.

Вещественная частотная характеристика .

Мнимая частотная характеристика .

Фазовая частотная характеристика .

Амплитудная частотная характеристика

. (1)

Получим аналитическое выражение АФХ.

Проведем анализ суммы .

Возведем левую и правую части в квадрат:

Или .

Тогда добавим в обе части, получим

.

- уравнение окружности с центром в точке (0; k/2).

Таким образом, АЧХ имеет вид полуокружности (рис. 3). При=0 сдвиг по фазе равен нулю, коэффициент передачи равен k. С увеличением частоты модуль уменьшается, а сдвиг по фазе стремится от 0 к минус 90

(при , - 90).

Логарифмические частотные характеристики ЛЧХ.

; ;.

Разобьем ЛАХ по оси частот на 2 диапазона.

1. - асимптота с левой стороны.

2. , .

Рассмотрим это выражение на численном примере.

При увеличении круговой частоты в 10 раз правое слагаемое увеличивается на 20 единиц, т.е. после частоты среза ЛАЧ имеет наклон 20 дБ/дек.

Эти данные позволяют достаточно просто строить ЛАЧ апериодического звена первого порядка (рис. 4).

1. Построить вертикальную линию на частоте среза .

2. В диапазоне нижних частот от частоты среза построить горизонтальную линию.

3. В диапазоне высоких частот от частоты среза через точку пересечения с вертикалью частоты среза провести ниспадающую линию с наклоном 20 дБ/дек.

Эти две прямые линии дают амплитудную частотную характеристику звена в логарифмическом масштабе. Максимальное отклонение данной аппроксимации от расчетной кривой составляет 3дБ на частоте среза.

Логарифмическая фазовая характеристика ЛФХ определяется по выражению (при ручном расчете логарифмическая фазовая характеристика звена первого порядка строится по специальному шаблону)

. (2)

На низких частотах выходной сигнал совпадает по фазе с входным , затем появляется отставание по фазе, которое на частоте среза равно . Максимальное отставание по фазе составляет.

Пример построения логарифмических частотных характеристик для звена первого порядка в системеMathCAD приведен на рис. 5.