Скачиваний:
94
Добавлен:
22.02.2014
Размер:
357.89 Кб
Скачать

Международный Университет

Бизнеса и Управления

БАЛАКОВСКИЙ

ИНСТИТУТ

БИЗНЕСА И УПРАВЛЕНИЯ

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

«АНАЛИЗ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ КРИТЕРИЮ КАЧЕСТВА»

Методическое пособие к практическим работам по курсу: «Теория автоматического управления»

для студентов специальностей 210100 – «Управление и информатика в технических системах»

230700 – «Сервис», 351400 – «Прикладная информатика»,

Одобрено

Редакционно-издательским

советом

Балаковского Института

Бизнеса и Управления

Балаково 2004

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:научиться вычислять квадратичную инте­гральную оценку качества процесса регулирования

Теоритические положения

В основе анализа качества САУ по интегральному квадратичному кри­терию качества (ИКК) лежит интегральный показатель, характеризующий отклонение регулируемого параметра при переходном процессе от идеализи­рованного переходного процесса. В качестве идеального переходного про­цесса обычно принято считать ступенчатый переходный процесс, проте­кающий мгновенно, без перерегулирования. (Рисунок 5.1 а)

Вычисление ИКК производится по формуле:

(5.1)

где х(t) - уравнение переходной функции;

х() - установившееся значение регулируемого параметра.

Как видно но формуле (5.1) ИКК не зависит от знака ошибки регулиро­вания, т.к. эта величина берется в квадрате. Она еще называется "квадратич­ной площадью ошибки регулирования".

Рисунок 5.1 - Графики переходного процесса

а)при входном сигнале в виде единичного ступенчатого воздействия,

б)при входном сигнале в виде единичного импульса.

1 идеализированный переходный процесс,

2 реальный переходный процесс.

Заштрихованная область показывает отклонение реальною переходно­го процесса от идеального;

знак (-) характеризует отставания реального переходного процесса от иде­ального;

знак (+) характеризует опережение реального переходного процесса по сравнению с идеальным.

Вычисление ИКК при ступенчатом входном сигнале

Пусть на вход САУ подан единичный, ступенчатый сигнал, тогда изобра­жение по Лапласу выходной координаты имеют вид:

(5.2)

Интеграл можно вычислить, не производя обратного преобразования Лапласа, не решая дифференциального уравнения, не вычисляя затем интеграл (5.1), а сразу по коэффициентам формулы (5.2) [ 5, 7 ]

(5.3)

определитель получаемый изпутем заменыi+1 столбца столбцом вида

Таким образом, определение проводится через раскрытие определите­ля Гурвица (д) и преобразованных определителей (,,...), что является трудоемким процессом. Поэтому для САУ пятого и выше порядка он практи­чески не применяется. Пусть для системы 4-го порядка изображение по Лап­ласу регулируемого параметра при скачкообразном входном воздействии име­ет вид:

(5.4)

Определяем значение по формуле (5.3)

(5.5)

После раскрытия определителей формула (5.5) для системы 4-го порядка принимает вид:

(5.6)

(5.7)

Для системы 2-го порядка

(5.8)

Для системы 1-го порядка

(5.9)

ПРИМЕР 1 Передаточная функция системы имеет вид:

Определить оптимальное значение постоянной времени Т, соответст­вующую минимуму ИКК пли максимальному быстродействию системы при подаче на и ход системы ступенчатого сигнала И(t) = I(t) при следующих па­раметрах К=10с-1, Т, = 0.06с-1, Т, = 0.04с1.

РЕШЕНИЕ

1 Изображение по Лапласу выходной величины имеет вид:

2 В соответствии с формулой (5.7) и с учетом находим значение ИКК

3 Для определения оптимального значения постоянной времени Т1 соответствующего минимум ИКК, определим производную ИКК по Т, и приравняем ее нулю

Из этого определяем значение Т1

Примечание – проверим правильность полученного уравнения. Для этого определим значение при разных значениях Т1.

При

При

При

ОТВЕТ: Оптимальное значение Т1 по критерию минимум ИКК равно

Вычисления ИКК при импульсном входном сигнале

Пусть на вход системы подано возмущение в виде единичного импульса. Переходный процесс в виде импульсной переходной характеристики (весовая функция) показан па рисунке 5.16. Идеальный переходный процесс - это им­пульс с коэффициентом передачи К. Различие между идеальным и реальным переходным процессом показано в виде заштрихованной области и ее вели­чина может быть оценена через ИКК [5,7]. Изображение по Лапласу функции веса имеет вид

(5.10)

ИКК весовой функции определяется по другой формуле [5,7]

(5.11)

Значение ,,...и В1 определяется также, как в формуле (5.3). Пусть изображение по Лапласу весовой функции имеет вид:

Определяем значение по формуле (5.11)

(5.12)

После раскрытия определителей формула (5.12) для системы 4-го порядка принимает вид:

(5.13)

(5.14)

Для системы 2-го порядка

(5.15)

Для системы 1-го порядка

(5.16)

ПРИМЕР 2 Передаточная функция системы имеет вид:

Определить оптимальное значение К1 по критерию минимум ИКК при подаче на вход U(t)=I(t). Параметры системы К1=20с1, Т = 0.1с2

РЕШЕНИЕ

1 Передаточная функция замкнутой системы

2 Изображение по Лапласу выходной величины

В соответствии с формулой (5.15) находим ИКК:

Для определения оптимального значения К2 соответствующего минимум ИКК, определим производную ИКК по К2 и приравняем ее нулю

5 Из этого значения определяем значение К2 при К1=20с1, Т = 0.1с2

Примечание - проверим правильность полученного уравнения. Для этого определим значение при разных значениях К2.

При

При

При

ОТВЕТ: Оптимальное значение К2 по критерию минимум ИКК равно

Анализ САУ по улучшенному интегральному критерию качества

Недостаток ИКК в том, что при приближении действительной переход­ном функции к идеальной увеличивается колебательность и перерегулирова­ние, уменьшается запас устойчивости.

Поэтому широко применяется другая интегральная оценка, которая назы­вается улучшенным интегральным квадратичным критерием (УИКК). Он вычисляется по формуле:

(5.17)

УИКК так же характеризует "квадратичную площадь ошибки регулиро­вания", по не относительно ступенчатом переходной функции, а определяется относительно экспоненциальной переходной функции с постоянной времени т (рисунок 5.2) и вычисляется УИКК по тем же формулам, как и ИКК.[5,7]

Рисунок 5.2 - Графики переходной функции

1 идеальная переходная функция с ограничением по скорости возрастания

2 реальная переходная функция;

заштрихованная область - отклонение реального переходного процесса от идеального.

Определить оптимальное значение К по критерию минимума УИКК мри подаче на вход U(t)=I(t). Параметры системы T = 0,5с, ограничение по скоро­сти выходного сигнала равно т = 0,2с. РЕШЕНИЕ

1 Передаточная функция замкнутой системы:

Изображение по Лапласу выходной величины с учетом ограничения скорости т2

3 Как видно из полученного изображения регулируемой величины значе­ния УИКК можно представить как сумму двух ИКК. Первый ИКК определя­ется по формуле (5.8) при b1= 0.

Второй ИКК определяется по формуле (5,15) при b1= 0:

Результирующее значение УИКК:

Для нахождения оптимального значения К определим производную УИКК по К и приравняем ее к 0.

из этого уравнения определяем значение К: по УИКК К=5с-1

Вычисление ИКК по ПФ ошибки регулирования

В некоторых случаях нахождение оптимального параметра по критерии минимума ИКК или минимума УИКК по изображению выходкой координаты по формуле (5.2) или (5.10) бывает достаточно сложным. Тогда ИКК или УИКК вычисляется по переходной составляющей ошибки регулирования.

Если дана передаточная функция замкнутой САУ, то изображение пере­ходной составляющем ошибки регулирования определяется, но формуле:

(5.18)

Если дана передаточная функция разомкнутой САУ, то изображение пе­реходной составляющей ошибки регулирования определяется но формуле:

(5.19)

Покажем определение ИКК по а(р) из конкретных примерах. [ 7 ]

ПРИМЕР 4 Передаточная функция замкнутой САУ имеет Вид

Определить оптимальное значение коэффициента затухания по крите­рию минимума ИКК при входном сигналаU(t) =I (t).

РЕШЕНИЕ I Определяем ИKK но изображению регулируемой величины х(р)

1 Изображение регулируемой величины при входном сигнале U(t) =I (t).

2 В соответствии с формулой (5.8) находим ИКК

3 Определим производную ИКК по и приравниваем ее к 0

Из этого определяем значение

=0

ОТВЕТ: Оптимальное значение =0,5

РЕШЕНИЕ 2 Определяем ИКК по переходной составляющей ошибки регу­лирования а(р)

1 Как видно из решения 1 значение коэффициента усиления К на нахожде­ние оптимального значение влияния не оказывает. Поэтому для упрощения расчета принимаем К = 1.

3 В соответствии с формулой (5.15) находим ИКК:

4 Определяем производную ИКК по и приравнивая ее к 0

Из этого уравнения определяем

=0

ОТВЕТ: Оптимальное значениепо ИКК, полученное двумя способами, полностью совпадает и равно=0,5

ПРИМЕР 5 Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

Определить оптимальное значение Т1 по критерию минимума ИКК при подачи на вход U(t) =I (t). Определение оптимального значение Т1, провести двумя способами.

РЕШЕНИЕ а) по изображению регулируемой величины х(р)

Передаточная функция замкнутой системы:

2 Изображение регулируемой величины

3 Значение ИКК по формуле (5.8)

4 Очевидно что при

РЕШЕНИЕ: 6) по изображению составляющей ошибки регулирования а(р)

I Изображение переходной составляющей ошибки регулирования по фор­муле (5.18)

2 Значение ИКК по формуле (5.15)

3 Очевидно что при

ОТВЕТ: Оптимальное знамение Т1 полученное через х(р) и а(р) , полностью совпадает и равно Т1 —> 0.

ВЫВОД: Если через изображения выходной величины х(р) не удается полу­чить оптимального значения исходного параметра, то это можно сделать че­рез изображение переходной составляющей ошибки регулирования а(р), по­тому что так называемая "квадратичная площадь ошибки регулирования" в обеих случаях совершенно одинакова.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.