2.3 Уравнения Максвелла для гармонических колебаний. Комплексные амплитуды
На практике часто используются
электромагнитные (ЭМ) процессы с
фиксированной круговой частотой
.
Мгновенное значение, например, вектора
напряженности электрического поля
записывается в следующем виде:
(2.10)
Соответствующие значения
и
– это амплитуды и фазы отдельных
составляющих поля (скалярные).
Запись (2.10) может быть переписана как действительная часть (Re) комплексного вектора:
(2.11)
Вектор:
,
(2.12)
называется комплексной амплитудой поля
.
Мгновенное значение вектора (2.10) в этом случае перепишется следующим образом:
(2.13)
Уравнения Максвелла могут быть теперь
записаны для комплексных амплитуд. При
этом надо учесть, что все векторы имеют
одинаковую зависимость от времени –
и что операция дифференцирования по
времени заменяется умножением на
величину
,
т.е.
С учетом этих замечаний сводка уравнений Максвелла в дифференциальной форме принимает следующий вид:
,
(2.14)
Такая форма системы уравнений ЭМП наиболее употребительна для практических расчетов.
Использование понятий комплексных амплитуд позволяет следующим образом переписать первое уравнение (2.14):
(2.15)
Введенная здесь величина:
(2.16)
называется комплексной диэлектрической проницаемостью среды.
Число
может быть изображено на комплексной
плоскости (рисунок 2.1).
Отношение мнимой части числа к действительной называется тангенсом угла потерь:
.
(2.17)
В справочниках по материалам приводится эта величина для наиболее распространенных диэлектриков.
По величине
можно классифицировать материалы на
хорошие или плохие диэлектрики или
проводники.
Рисунок 2.1 – Диэлектрическая проницаемость на комплексной плоскости
2.4 Энергия электромагнитного поля
Электромагнитные поля способны накапливать, переносить и рассеивать энергию. ЭМ энергия подчиняется общему закону сохранения энергии. Из уравнений Максвелла можно вывести следующее уравнение сохранения энергии:
.
(2.18)
Здесь
– мгновенная мощность сторонних
источников, находящихся внутри объема
V, ограниченного поверхностью
S .
Мощность тепловых потерь определяется проводимостью среды:
.
Часть энергии распределена в объеме V и называется колебательной:
Наконец, еще одна часть мощности покидает
объем V через поверхность
S, т.е. излучается во внешнее
пространство. Излучение характеризуется
плотность потока мощности
,
которая называется вектором Пойнтинга.
Если векторы ЭМП меняются по гармоническому
закону, то среднее за период колебаний
значение вектора Пойнтинга равно:
(2.19)
Звездочка в (2.19) означает комплексное сопряжение.
Вектор Пойнтинга имеет универсальное значение. Он характеризует не только перенос ЭМ энергии посредством излучения (антенный эффект), но и процесс направленного переноса энергии в линиях передачи (ЛП).