Часть 1 основы теории электромагнитного поля

1 Скалярные и векторные поля. Операции над векторами

1.1 Классификация полей

Окружающий нас материальный мир можно условно разделить на вещество и поле. Вещество обладает массой. Поле не имеет инертной массы. Некоторые поля действуют на наши органы чувств непосредственно, другие – опосредовано. Поля делятся на скалярные и векторные. Температурное поле является, например, скалярным. Температура в каждой точке жилой комнаты может быть описана трехмерной функцией в декартовой системе координат. Температура в комнате может быть представлена в виде таблиц или серии графиков. Значение температуры в каждой точке комнаты зависит только от координаты этой точки – и не зависит от ориентации в пространстве регистрирующего прибора – термометра. Это поле скалярное. Наличие напряженности электрического поля в этой же комнате можно зарегистрировать пробником – вибраторной антенной. Но показания регистратора зависят от ориентации пробника в пространстве, так как электрическое поле векторное и характеризуется не только величиной, но и направлением. Для описания векторных полей необходимо ввести правила обращения с векторами.

1.2 Операции над векторами

В отличие от скалярного поля векторное поле задается в трехмерном пространстве в виде трех проекций на выбранные оси системы координат:

(1.1)

где , , – единичные векторы вдоль осей 0x, 0y, 0z (рисунок 1.1).

Рисунок 1.1 – Прямоугольная система координат

Из (1.1) видно, что функции , , являются скалярными и за ориентацию и размер вектора отвечает комбинация трех функций.

Определим следующие операции над векторами.

Сложение (вычитание) векторов. При сложении векторов складываются соответствующие проекции векторов на оси системы координат:

Перемножение векторов. Различаются несколько способов перемножения векторов. Скалярное произведение единичных векторов обозначается точкой и производится по правилу (на примере единичных векторов):

.

Векторное произведение единичных векторов обозначается крестиком или множители ставятся в квадратные скобки. Результат произведения – вектор:

Результат произведения имеет знак плюс, если индексы i, j, k соответствуют последовательности осей системы координат 0x, 0y, 0z, и знак минус, если последовательность обратная – 0x , 0z , 0y.

Дифференцирование векторов. Дифференцирование многомерной скалярной функции T приводит к векторной функции, которая называется градиентом:

Дифференцирование вектора может привести к скалярной функции, которая называется дивергенцией

Другой способ дифференцирования вектора приводит к вектору и называется ротором. Правило дифференцирования удобно определить в виде раскрытия определителя:

Например,

Интегрирование векторов. Одномерное интегрирование вектора по замкнутому контуру называется циркуляцией.

Интегрирование вектора по поверхности называется потоком.

Теоремы Остроградского-Гаусса и Стокса устанавливают следующие соотношения:

(1.2)

Определенные выше правила и операции над векторами и, в частности, над единичными векторами справедливы для любой ортогональной системы координат [4].

y

а) б)

Рисунок 1.2 – Цилиндрическая и сферическая системы координат

На рисунке 1.2 показаны координаты и единичные векторы круговой цилиндрической и сферической систем координат.

Контрольные вопросы:

1 Дать определение скалярных и векторных величин.

2 Представление векторов в прямоугольной системе координат.

3 Представление векторов в круговой цилиндрической системе координат.

4 Представление векторов в сферической системе координат.

5 Определение скалярного произведения единичных векторов.

6 Определение векторного произведения единичных векторов.

7 Правая и левая тройки единичных векторов.

8 Записать оператор в прямоугольной системе координат.