5.Частотные характеристики

5.1.Афчх

Т.к. Y(s) = G(s)* - M_H(s)*

то, передаточная функция САУ по задающему воздействию:

W(s) = =

Подставим s=j*ω, тогда получим частотную характеристику :

W(j*ω) = = =

= ==

= - j*

Таким образом получили АФЧХ системы:

W(j*ω) = - j*

где

U(ω) = ReW(j*ω) = - действительная частотная характеристика

V(ω) = ImW(j*ω) = – мнимая частотная характеристика

ω	U(ω)	V(ω)
0	1	0
1	1,19	-0,81
2	-0,88	-0,67
3	-0,35	-0,03
4	-0,17	0,02
5	-0,1	0,03
∞	→ 0	→ 0

График АФЧХ

5.2.АЧХ

Амплитудно – частотная характеристика :

А(ω) =

A(ω) = =

= =

A(ω) =

ω	A(ω)
0	1
1	1,44
5	0,1
10	0,018
20	0,003
	→ 0

График АЧХ

5.3.ФЧХ

ФЧХ системы определяется за формулой:

φ(ω) = arctg ()

φ(ω) = arctg() = -arctg()

φ(ω) = -arctg()

ω	φ(ω), град
0,1	87.529
1	48.681
5	-16.105
10	-39.655
20	-60.527
	-90

График ФЧХ

5.4.Логорифмитическая амплитудно-частотная характеристика

ЛАЧХ определяется за формулой :

L(ω) = 20 * lg(A(ω))

L(ω) = 20*lg() = 20*lg(2,33) – 10*lg()

ω, с-1	L(ω), Дб
0.01	2,93*10-4
0.1	0,03
1	3,2
10	-34,68
100	-151,74

График ЛАЧХ

6.Произвести анализ устойчивости сау:

6.1.Критерий Вышнеградского

Передаточная функция замкнутой системы равна:

W(s) = , тогда характеристическое уравнение

= 0 <=> , где

а₀=0,09 ; а₁=1 ; а₂=1 ; а₃=2,33

1. а₀ , а₁ , а₂ , а₃ > 0 - выполняется

2. а₂*а₁ > а₃*а₀ т.е. 1 > 0,21

Чтоб судить об устойчивости системы за критерием Вышнеградского, необходимо, выполнялись 2 пункта, что выполняется в данном случае.

Поэтому, за данным критерием система устойчива.

6.2.Критерий Рауса-Гурвица

Система устойчива, если действительные части всех корней характеристического уравнения – отрицательны. Тогда, в соответствии с критерием Рауса – Гурвица, для того, чтоб действительные части корней хар-го уравнения

b₀*x^m+b₁*x^m-1+b₂*x^m-2+…+b_m-1*x+b_m = 0

с действительными коэффициентами и b₀ > 0 , были отрицательными, необходимо и достаточно, чтобы были положительны все определители Δ₁, Δ₂, … Δ_m :

= 0

b₀=0,09 ; b₁=1 ; b₂=1 ; b₃=2,33

Δ₃ = = 1,84

Δ₂ = == 0,7 + 2,33*0,09 = 0,79

Δ₂ = 1

Т.к. условие устойчивости b₀, b₁, b₂, b₃ > 0 выполняется и Δ₁, Δ₂, Δ₃ > 0 , то система устойчива

6.3.Критерий Михайлова

Характеристический полином замкнутой САУ :

D(s) =

Подставим S=j*ω и определим действительную и мнимую части :

D(j*ω) = ==

= ,тогда

U(ω) = Re D(j*ω) =

V(ω) = Im D(j*ω) =

ω	U(ω)	V(ω)
0	2,33	0
1	1,33	0,91
2	-1,68	1,28
3	-6,68	0,57
5	-22,68	-6,25
∞	-∞	-∞

Годограф Михайлова

Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова, начинаясь при ω=0 на вещественной положительной полуоси, с ростом частоты ω от 0 до ∞ обходил последовательно в положительном направлении n квадрантов комплексной плоскости.

В нашем случае годограф начинается положительной вещественной полуоси, и проходит последовательно 3 квадранта и в последнем уходит в бесконечность, следовательно система устойчива