2. Динамика поступательного движения

Вдоль оси OX навстречу друг другу движутся две частицы с массами m₁ = 4 г и m₂ = 2 г и скоростями V₁ = 5 м/с и  V₂ = 4 м/с соответственно. Проекция скорости центра масс на ось ОХ (в единицах СИ) равна …

2 |

Решение: Скорость центра масс механической системы равна отношению импульса системы к ее массе: . Для рассматриваемой системы из двух частиц . Проекция скорости центра масс на ось ОХ

5. Импульс материальной точки изменяется по закону: . Модуль силы, действующей на точку в момент времени t = 4 c (в единицах СИ) равен 1) 88 Н 2) 34 Н 3) 26 Н 4) 14 Н Решение: Согласно второму закону Ньютона, скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе: . Тогда зависимость силы от времени имеет вид: . Модуль силы , и в момент времени  t = 4 c

6. Автомобиль поднимается в гору по участку дуги с увеличивающейся по величине скоростью. Равнодействующая всех сил, действующих на автомобиль, ориентирована вдоль направления …

Решение: Согласно второму закону Ньютона , где  равнодействующая всех сил, действующих на тело,  его ускорение. Вектор ускорения удобно разложить на две составляющие: . Тангенциальное ускорение  направлено по касательной к траектории в данной точке и характеризует быстроту изменения модуля скорости; нормальное ускорение  направлено по нормали к траектории в данной точке и характеризует быстроту изменения направления скорости. При движении по криволинейной траектории 0, при движении с увеличивающейся по величине скоростью 0 и вектор ориентирован в направлении 5. Следовательно, вектор , а значит и вектор , ориентированы в направлении 4.

7. На рисунке приведен график зависимости скорости тела  от времени t. Если масса тела 2 кг, то сила, действующая на тело, (в единицах СИ) равна …

Решение: Из второго закона Ньютона , где а – модуль ускорения, который можно найти из графика зависимости :  м/с². Тогда  Н

8. Система состоит из трех частиц, массы которых , , . Первая частица находится в точке с координатами (1, 2, 0), вторая – в точке (0, 2, 1), третья – в точке (1, 0, 1) (координаты даны в сантиметрах). Тогда – координата центра масс (в см) равна …

Решение: Центром масс системы материальных точек называется точка С, радиус-вектор которой определяется соотношением . Тогда  см.

3. Динамика вращательного движения

Диск может вращаться вокруг оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр. К нему прикладывают одну из сил (, ,  или ), лежащих в плоскости диска и равных по модулю. Верным для угловых ускорений диска является соотношение …

			,

Решение: Согласно основному уравнению динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси угловое ускорение равно: . Отсюда следует, что угловое ускорение прямо пропорционально моменту приложенной к диску силы, который, в свою очередь, прямо пропорционален величине плеча силы (при условии равенства модулей сил). Таким образом, , , так как плечо силы  равно нулю, и поэтому момент силы  равен нулю.

Диск вращается вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью. В некоторый момент времени на диск начинает действовать не изменяющийся со временем тормозящий момент. Зависимость момента импульса диска от времени, начиная с этого момента, представлена на рисунке линией …

			D
			A
			B
			C
			E

Решение: Момент импульса тела относительно неподвижной оси равен: , где  – момент инерции тела относительно оси вращения,  – угловая скорость. Так как по условию на диск, вращающийся с постоянной угловой скоростью, начинает действовать не изменяющийся со временем тормозящий момент, зависимость угловой скорости от времени имеет вид , где – угловое ускорение. Поскольку тормозящий момент не зависит от времени, то и  const. Тогда , то есть для момента импульса диска имеет место зависимость от времени, отражаемая линией D.

Обруч скатывается без проскальзывания с горки высотой 2,5 м. Скорость обруча (в м/с) у основания горки при условии, что трением можно пренебречь, равна …

			5

Решение: Поскольку трением можно пренебречь, в рассматриваемой системе выполняется закон сохранения механической энергии: потенциальная энергия обруча на вершине горки равна кинетической энергии поступательного и вращательного его движений у основания горки: . Учитывая, что момент инерции обруча  и , получаем: . Отсюда

Рассматриваются три тела: диск, тонкостенная труба и сплошной шар; причем массы m и радиусы R шара и оснований диска и трубы одинаковы. Верным для моментов инерции рассматриваемых тел относительно указанных осей является соотношение …

Решение: Момент инерции сплошного однородного кругового цилиндра (диска) массы m и радиуса R относительно его оси . Момент инерции диска относительно указанной оси вычисляется с использованием теоремы Штейнера: . Момент инерции тонкостенного кругового цилиндра массы m и радиуса R относительно его оси , момент инерции шара массы m и радиуса R . Таким образом, правильным соотношением для моментов инерции рассматриваемых тел относительно указанных осей является соотношение

9. Диск может вращаться вокруг оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр. В точке А прикладывают одну из сил  – , ,  или , лежащих в плоскости диска. Верным соотношением между моментами этих сил, относительно рассматриваемой оси является …

10. Рассматриваются три тела: диск, тонкостенная труба и кольцо, причем массы m и радиусы R их оснований одинаковы. Верным соотношением для моментов инерции рассматриваемых тел относительно указанных осей является …

Решение: Момент инерции сплошного однородного кругового цилиндра (диска) массы m и радиуса R относительно его оси вычисляется по формуле , тонкостенного кругового цилиндра массы m и радиуса R относительно его оси – . Из последней формулы видно, что момент инерции тонкостенного цилиндра (трубы, кольца) не зависит от его высоты. Поэтому правильным соотношением для моментов инерции рассматриваемых тел относительно указанных осей является следующее: .

11. Диск вращается вокруг вертикальной оси в направлении, указанном на рисунке белой стрелкой. К ободу колеса приложена сила, направленная по касательной. Правильно изображает направление момента силы вектор

Решение: Момент силы  определяется соотношением , где  – радиус-вектор точки приложения силы. Направление вектора момента силы можно определить по правилу векторного произведения, или по правилу правого винта (буравчика). Таким образом, момент силы правильно изображает вектор 3.

12. Диск равномерно вращается вокруг вертикальной оси в направлении, указанном на рисунке белой стрелкой. В некоторый момент времени к ободу диска была приложена сила, направленная по касательной. При этом правильно изображает направление углового ускорения диска вектор

Решение: По определению угловое ускорение тела , где  – его угловая скорость. При вращении вокруг неподвижной оси векторы  и  коллинеарны, причем направлены в одну и ту же сторону, если вращение ускоренное, и в противоположные стороны, если вращение замедленное. Направление вектора  связано с направлением вращения правилом правого винта. В данном случае вектор  ориентирован в направлении 4, и, так как после приложения силы движение становится замедленным, вектор  ориентирован в направлении 3.

13. Диск начинает вращаться вокруг неподвижной оси с постоянным угловым ускорением. Зависимость момента импульса диска от времени представлена на рисунке линией …

Решение: Момент импульса тела относительно неподвижной оси равен: , где  – момент инерции тела относительно оси вращения,  – угловая скорость. Так как по условию диск начинает вращаться с постоянным угловым ускорением, . Тогда , то есть для момента импульса диска имеет место линейная зависимость от времени, график В.