§ 2.4. Поняття про мережу. Загальна оптимізаційна задача на мережі
Задачі, які розглядатимуться у наступних трьох параграфах, тісно пов’язані з поняттям графа.
Нехай
– деяка множина точок. Кожній точці
поставимо у відповідність її номер.
Пару
назвемо ребром, яке з’єднує точку
із точкою
.
Нехай
– деяка фіксована, непорожня множина
ребер. Тоді пару
назвемо графом із множиною вершин
і
множиною ребер
.
Вважатимемо, що множина
і, відповідно, множина
скінченні. Тоді граф називається
скінченним. Граф можна зображати
схематично.
Наприклад,
зображена структура є графом з множиною
вершин
і множиною ребер
.
Якщо
пари
і
не розрізняються, то граф називається
неорієнтованим.
Зображений
вище неорієнтований граф може бути
описаний і множинами
та
.
Граф,
який визначається парою
,
де
,
можна схематично зобразити так:
Якщо
всі пари
(елементи множини
)
впорядковані, тобто визначено початок
ребра і його кінець
,
то граф називається орієнтованим
і ребра
– дугами
графа.
При схематичному зображені орієнованого
графа кінець кожної дуги позначають
стрілкою.
Наприклад,
орієнтований граф
,
де
і
,
зображають так:
Кожній
вершині
поставимо у відповідність дійсне число
.
Множину чисел
позначимо
.
Число
називається інтенсивністю
вершини з номером
.
Якщо
,
то вершина
називається джерелом,
якщо
– витоком,
якщо ж
– нейтральною
вершиною.
Трійку
називатимемо мережею
з множиною вершин
,
множиною дуг 
і множиною
інтенсивностей вершин. Кожній дузі
із множини
часто ставлять у відповідність додатне
число
,
яке відіграє роль питомих затрат,
пов’язаних з цією дугою, при розгляді
деякого процесу на мережі. Множину чисел
позначатимемо 
.
Кожній дузі
із
ставиться у відповідність і додатне
число
,
яке інтерпретують як пропускну здатність
дуги. Множину чисел
позначимо
.
Розглянуту
в попередніх параграфах транспортну
задачу можна розглядати як задачу на
мережі. Множиною вершин цієї мережі є
множина пунктів постачання
(
),
і пунктів споживання
,
(
).
Інтенсивності пунктів постачання
рівні запасам
,
як інтенсивності пунктів споживання
використовують числа
(потреби зі знаком “мінус”). Множиною
дуг мережі є множина всіх комунікацій,
від
до
.
Питомі затрати на перевезення вантажу
від
до
задаються числами
і утворюють множину
.
Якщо на об’єм перевезень від
до
накладається обмеження
,
то на мережі
розглядається оптимізаційна задача за
участю множин
та
.
У транспортній задачі без обмежень на
пропускні здатності покладають
.
Інтенсивність
джерела
мережі трактується як обсяг виробництва
у вершині
,
а інтенсивність
витоку
як обсяг споживання в пункті (вершині)
.
По дугах
мережі продукт, який виробляється у
пунктах виробництва (джерелах
)
транспортується у пункти споживання
(витоки
).
Відповідні об’єми транспортування
позначатимемо
.
Потоком на мережі називається така множина дійсних чисел , що
, 
, (2.4.1)
, 
(2.4.2)
Умова
(2.4.1) називається умовою
неперервності потоку.
Трактовка цієї умови дуже проста: різниця
між сумою значень потоку на дугах, які
починаються у вершині 
,
і сумою значень потоку на дугах, які
закінчуються у вершині 
,
дорівнює інтенсивності (об’єму
виробництва чи об’єму споживання з
протилежним знаком) цієї вершини
.
Нехай
,
позначимо
,
.
Тоді умовами існування потоку на мережі є умови [7], [12]:
1)
; (2.4.3)