§ 2.1. Методи визначення початкового допустимого плану

Нехай ТЗ задана у вигляді таблиці.

Пункти споживання Пункти постачання			…		Запаси
			…
			…
…	…	…	…	…	…
			…
Потреби			…

Існує багато методів визначення початкового базисного плану

.

Найпростіший з них так званий метод північно-західного кута.

Суть його полягає в тому, що насамперед максимально можливо задовольняються потреби пункту споживання, номер якого найменший, за рахунок пункту постачання, номер якого найменший. Таким чином, елементи матриці визначаються поступово, починаючи від лівого верхнього кута, що й зумовило назву методу.

Наприклад, якщо задана задача

20	2	10	1		2			2		30
	3	5	2	35	1			3		40
	1		3	5	3		25	1		30
20		15		40		25			100

то вписаний у таблицю початковий план визначався так:

Потреба задовольняється за рахунок першого пункту постачання з об’ємом запасу . Отже, . В пункті постачання залишається запас об’ємом 10, за рахунок якого задовольняємо частково потребу пункту . Маємо . Щоб повністю задовольнити потребу пункту , вважатимемо що, за рахунок пункту . У пункті залишився запас обсягом 35, яким частково задовольняємо потребу пункту , вважаючи . І нарешті, використовуємо запас пункту , , .

Побудований початковий план

допустимий (сума елементів матриці по рядках дорівнює відповідним запасам, а сума елементів по стовпцях – потребам) і базисний (циклу побудувати не можна).

У наведеному прикладі , . Отриманий базисний план невироджений, бо число ненульових елементів матриці дорівнює . Зрозуміло, що, аналогічно попередньому, можна ввести в розгляд метод північно-східного, метод південно-західного чи якийсь інший регулярний метод. Усі вони матимуть спільний недолік, який полягає в тому, що ці методи ніяк не використовують при визначенні початкового плану значення затрат .

Врахування ж цих питомих затрат може істотно вплинути на зменшення загальних затрат, відповідних початковому плану перевезень.

Одним із найбільш відомих методів побудови початкового плану перевезень з урахуванням питомих затрат є так званий метод мінімального елемента (мінімальних затрат).

Суть методу в тому, що насамперед за рахунок запасів у пункті максимально повно задовольняють потребу пункту , де та такі, що

.

Якщо таких мінімальних елементів декілька, то як вибирають один із них. Покладають . Якщо , то з подальшого розгляду виключають всі елементи , , якщо , то з подальшого розгляду виключають всі елементи , .

Таким чином, з матриці затрат

виключається рядок із номером або стовпчик з номером , або і рядок, і стовпчик з такими номерами, якщо .

Далі діють аналогічно, аналізуючи матрицю затрат без врахування її елементів, що містяться у виключених рядках і стовпцях.

Проілюструємо метод мінімального елемента (мінімальних затрат) на тому ж прикладі, який розглядався вище.

Отже,

.

.

Цей мінімум досягається на чотирьох елементах матриці. Виберемо, наприклад, , .

Тоді і всі елементи другого стовпця виключаємо з розгляду. Переходимо до аналізу нової матриці

,

маючи на увазі, що запас у пункті зменшився на і дорівнює . Мінімальний елемент матриці (елементи другого стовпця виключено з розгляду) дорівнює одиниці. Нехай це . Вважатимемо, що . Виключаємо з розгляду і другий рядок, і третій стовпчик, знаходимо мінімальний елемент у матриці

.

Тепер мінімальним елементом є , тому покладемо , . Виключаємо з розгляду перший стовпчик.

Продовжуючи процес, отримаємо

, .

Остаточно

	2	15	1		2		15	2		30
	3		2	40	1			3		40
20	1		3		3		10	1		30
20		15		40		25			100

Порівняємо затрати , пов’язані з початковим планом, знайденим за методом північно-західного кута, і затрати , відповідні тільки що знайденому плану.

,

.

Як і очікувалось, .

Зауважимо, що отриманий у прикладі методом мінімального елемента допустимий план є базисним виродженим планом, бо кількість його відмінних від нуля компонент дорівнює .

До множини базисних змінних можна добавити, наприклад змінну , але не чи , бо в цьому разі можна побудувати замкнутий цикл.

Існують також методи побудови початкового базисного плану перевезень.

Ми вважатимемо, як уже зазначалось, що розглядаються невироджені задачі, тобто, що всі базисні плани транспортних задач невироджені. Відомий критерій невиродженості ТЗ [14].

Твердження 2.2.1. Для того, щоб транспортна задача була не виродженою, необхідно і досить, щоб для будь-якого набору пунктів постачання і будь-якого набору пунктів споживання , де , виконувались умови

.

Задача, для якої вище ми визначали початкові базисні плани, вироджена, в чому ми переконались.

Появи виродженого базисного плану можна було очікувати, бо для наборів пунктів постачання і пунктів споживання маємо

,

тобто

і, згідно із Твердженням 2.2.1, задача вироджена.

Якщо транспортна задача (2.1.1) – (2.1.3) вироджена, то можна перейти до так званої збуреної задачі, замінивши в (2.1.2) на та на

Не важко довести [14], що збурена задача невироджена при достатньо малому .

Після розв’язок (2.1.1) – (2.1.3) легко обчислити, підставивши у знайдений розв’язок .

Отже, домовленість про те, що в подальшому розглядаються тільки невироджені ТЗ, з урахуванням сказаного вище не порушує загальності.