- •Тема 1. Випадковий процес та його характеристики Заняття 1. Характеристики випадкових процесів. Теоретичні довідки та приклад розв’язування задачі
- •Характеристиками випадкового процесу називають його моменти, які є невипадковими функціями.
- •Теоретичні довідки та приклад розв’язування задачі
- •Тема 2. Диференціювання випадкових процесів.
- •Тема 3. Інтегрування випадкових процесів.
- •Тема 4. Канонічне розкладання випадкових процесів
- •Тема 5. Стаціонарні випадкові процеси
- •Тема 6. Перетворення стаціонарного випадкового процесу стаціонарною лінійною динамічною системою.
Тема 4. Канонічне розкладання випадкових процесів
Елементарним випадковим процесом називається процес, який має вигляд , де V – звичайна центрована випадкова величина з характеристиками mV=0, DV ; – звичайна (невипадкова) функція часу. Для математичного сподівання та кореляційної функції елементарного випадкового процесу маємо:
; (2.7)
Канонічним розкладанням випадкового процесу X(t) називається вираз вигляду
. (2.8)
У цьому виразі являє собою математичне сподівання випадкового процесу X(t); V1,…,Vi,… – некорельовані, центровані випадкові величини із дисперсіями D1,…,Di,…; – невипадкові функції аргументу t. Випадкові величини V1,…,Vi,… називаються коефіцієнтами канонічного розкладання, а невипадкові функції – координатними функціями канонічного розкладання. Канонічне розкладання може вміщати як скінченне так і нескінченне число членів розкладання.
Характеристики випадкового процесу X(t), заданого своїм канонічним розкладанням, мають вигляд:
; (2.9)
, (2.10)
оскільки ;
. (2.11)
Вираз (2.10) називається канонічним розкладанням кореляційної функції випадкового процесу X(t), а вираз (2.11) – канонічним розкладанням дисперсії.
Тема 5. Стаціонарні випадкові процеси
Стаціонарним називається випадковий процес , математичне сподівання якого є сталою величиною при всіх значеннях аргументу , а кореляційна функція залежить лише від різниці аргументів , тобто
, . (3.1)
Дисперсія . (3.2)
Властивості кореляційної функції.
-
. 2. .
Нормованою кореляційною функцією стаціонарного випадкового процесу називається невипадкова функція аргументу :
. (3.3)
Абсолютна величина .
Стаціонарно зв'язаними називаються два випадкових процеси і , взаємна кореляційна функція яких залежить від різниці аргументів .
Не всякі дві стаціонарні функції стаціонарно зв'язані; з іншого боку, дві нестаціонарні функції можуть бути стаціонарно зв'язаними.
Для того, щоб стаціонарний випадковий процес був диференційованим, достатньо існування другої частинної похідної від кореляційної функції при нульовому значенні її аргументу:
. (3.4)
Похідна стаціонарного процесу є стаціонарним процесом. Отже, властивість стаціонарності мають стаціонарні лінійні комбінації стаціонарних процесів та їх похідних (при стаціонарній зв’язаності процесів будь-які їх похідні теж зв’язані стаціонарно).
Кореляційна функція похідної диференційованого стаціонарного випадкового процесу знаходиться за формулою:
. (3.5)
Кореляційну функцію та дисперсію інтегралу від стаціонарного випадкового процесу знаходять відповідно за формулами:
(3.6)
. (3.7)
Заняття 7. Спектральна щільність стаціонарного випадкового процесу.
Спектральною щільністю стаціонарного випадкового процесу називається функція , яка зв'язана з кореляційною функцією взаємно оберненим перетворенням Фур'є:
(3.8)
Ці формули називають формулами Вінера-Хінчина. В дійсній формі вони мають вигляд:
(3.9)
Нормованою спектральною щільністю стаціонарного випадкового процесу називається функція
. (3.10)
Для нормованої кореляційної функції і нормованої спектральної щільності , взаємної кореляційної функції і взаємної спектральної щільності також справедливі формули Вінера-Хінчина.