§ 14. Понятие обратной функции
Определение.
Функция
,
заданная на множестве
,
называется обратимой,
если неравным значениям аргумента
отвечают неравные же значения функции,
т. е. если
,
то и
.(Здесь
и
— любые две точки из
).
Пусть функция
— обратимая, заданная на множестве
,
и пусть
— множество всех значений этой функции.
Возьмем любое
.
Ясно, что на множестве
найдется одно
и только одно значение
такое, что
.
Таким образом, каждому значению
из множества
отвечает совершенно определенное
значение
(
и такое, что
).
Это означает, что
есть функция от
,
определенная на множестве
,
т. е.
,
.
Функция
,
определенная на множестве
,
называется обратной
функцией
для функции
,
определенной на множестве X.
Определение.
Пусть функция
задана на промежутке X.
Если из неравенства:
,
где
и
— любые две точки из
,
следует неравенство:
,
то функция
называется строго
возрастающей
в промежутке X.
Если же из
неравенства:
,
где
и
— любые две точки из
,
следует неравенство:
,
то функция
называется строго
убывающей
в промежутке X.
Отметим, что функции строго возрастающие и строго убывающие являются обратимыми.
Теорема.
Пусть функция
определена в промежутке
(
)
и является там строго возрастающей и
непрерывной. Тогда у функции
имеется обратная функция
,
определенная в промежутке
,
где
,
,
причем эта функция строго возрастающая
и непрерывная в промежутке
.
► Функция
строго возрастающая в
,
следовательно, она обратима и потому у
нее существует обратная функция
.
Как всегда, эта обратная функция
определена на множестве
,
состоящем из всех значений функции
.
1.
Покажем, что
.
Для этого докажем, что: 1)
и 2) 
.
Пусть
— любое, принадлежащее
(
).
Это значит, что
— одно из значений, принимаемых функцией
в промежутке
.
Следовательно, в промежутке
имеется
такое, что
.
Так как
и так как функция
строго возрастающая, то
,
т. е.
,
а значит,
.
Итак, из того, что
,
следует:
.
Так как
— любой элемент из
,
то заключаем, что
.
(*)
Пусть теперь
— любое, принадлежащее
(
).
Покажем, что
.
Для этого надо показать, что в промежутке
обязательно найдется
такое, что
.
Если
(у нас
),
то таким
является
.
Если
(у нас
),
то таким
является
.
Если же
,
то существование требуемого
в промежутке
вытекает из второй теоремы Больцано-Коши.
Итак, из того, что
,
следует, что
.
Так как
— любой элемент из
,
то это означает, что
.
(**)
Из того, что
и
следует, что
.
2.
Покажем теперь, что функция
строго возрастает в
.
Для этого в промежутке
возьмем
и
— любые, но такие, что
.
Положим
,
.
Ясно, что
и
и что
,
.
Так как
и
— вещественные числа, то, по свойству
упорядоченности системы W,
обязательно имеет место одно и только
одно из трех соотношений:
.
Если бы было:
,
то тогда оказалось бы:
,
т. е.
,
а это не так. Значит, соотношение
исключается. Если бы было:
,
то тогда оказалось бы:
,
т. е.
,
а это не так. Значит, соотношение
исключается. Так как соотношения
и
исключены, то остается только соотношение
,
а значит,
.
Таким образом, получили: из того, что
,
где
и
— любые две точки из
,
следует, что
.
А это означает, что функция
— строго возрастающая в
.
3.
Остается доказать непрерывность функции
в
.
Возьмем любую точку
и установим непрерывность функции
в этой точке. Тем самым будет установлена
непрерывность функции
в промежутке
.
Пусть для
определенности:
.
Положим
(
).
Возьмем
— любое, но такое, чтобы было:
и
.
Положим
,
.
Ясно, что точки
и
.
Пусть
,
.
Ясно, что точки
и
принадлежат
и
(см. рис. 3.10).
Возьмем
— любое, удовлетворяющее неравенству:
(4)
Так как функция
— строго возрастающая, то из неравенства
(4) вытекает неравенство
,
(5)
т. е.
.
Подчеркнем еще
раз, что неравенство
е выполняется для всех
,
удовлетворяющих неравенству:
.
Заметив это, положим
.
Ясно, что
,
ибо разности
и
положительные. А тогда всякое
,
удовлетворяющее условию
,
будет удовлетворять неравенству (4) и,
следовательно, для всякого
,
удовлетворяющего условию
,
будет:
.
А это означает,
что функция
непрерывна в точке
.
◄
Замечание 1. Аналогичная теорема имеет место для строго убывающих функций. Именно.
Пусть функция
определена в промежутке
(
)
и является там строго убывающей и
непрерывной. Тогда у функции
имеется обратная функция
,
определенная в промежутке
,
где
,
,
причем эта функция строго убывающая и
непрерывная в промежутке
.
Замечание 2. Справедливы также следующие утверждения.
I.
Пусть функция
определена в промежутке
(
)
и является там строго возрастающей и
непрерывной. Тогда у функции
имеется обратная функция
,
определенная в промежутке
,
где
,
,
причем эта функция строго возрастающая
и непрерывная в промежутке
.
II.
Пусть функция
определена в промежутке
(
)
и является там строго убывающей и
непрерывной. Тогда у функции
имеется обратная функция
,
определенная в промежутке
,
где
,
,
причем эта функция строго возрастающая
и непрерывная в промежутке
.
Заметим, что
некоторые из чисел
могут быть несобственными.