§ 10. Непрерывность функций
Станем рассматривать
функцию
,
определенную на некотором множестве
,
и точку
.
Точка
и обладает свойством: в любой окрестности
точки
имеются точки множества X,
отличные от
.
Отметим, что, так
как точка
принадлежит области определения функции,
то в этой точке функция имеет определенное
значение
.
Дадим определение непрерывности функции
в точке
следующими равносильными способами.
I.
Функция
называется непрерывной
в точке
,
если
.
(1)
Так как
,
то равенству (1) можно придать такую
форму:
,
что кратко выражают словами: предел функции равен значению функции от предела аргумента.
II.
Функция
называется непрерывной
в точке
,
если для любой последовательности
значений аргумента
:
такой, что
и
,
оказывается, что соответствующая
последовательность значений функции:
сходится к
.
Обращаем внимание на тот факт, что здесь
нет запрета:
.
III.
Функция
называется непрерывной
в точке
,
если любому, сколь угодно малому,
отвечает число
такое, что как только
и
,
так сейчас же
.
(Здесь нет запрета:
.)
Замечание 1.
Пусть
,
и пусть
.
Величина
называется приращением
независимой переменной.
Отметим, что
может быть больше нуля, а может быть и
меньше нуля.
Пусть
,
.
Величина
называется
приращением
функции
в точке
,
соответствующим приращению аргумента
(отметим, что
может быть больше нуля, а может быть и
меньше нуля и даже равно нулю).
Предположим теперь,
что функция
непрерывна в точке
.
Это означает, что
,
или
,
или
.
Следовательно, можно сказать: функция
будет непрерывной в точке
тогда и только тогда, когда бесконечно
малому приращению аргумента
соответствует бесконечно малое приращение
функции
.
Замечание 2.
Подобно тому как определялись
правосторонние и левосторонние пределы
функции
в некоторой точке
,
можно определить правостороннюю и
левостороннюю непрерывность функции
в точке
.
Определение.
1) Функция
называется непрерывной справа в точке
,
если
.
2) Функция
называется непрерывной слева в точке
,
если
.
Отметим, что если
функция
непрерывна в точке
в обычном смысле, то она непрерывна в
этой точке одновременно и справа, и
слева; если функция
непрерывна в точке
одновременно и справа и слева, то она
непрерывна в этой точке и в обычном
смысле.
Замечание 3.
Пусть функция
определена в замкнутом промежутке
.
Говорят, что функция
непрерывна в замкнутом промежутке
,
если она непрерывна в обычном смысле в
каждой внутренней точке этого промежутка
и если она непрерывна справа в точке
и непрерывна слева в точке
.
Замечание 4.
В дальнейшем будем рассматривать, как
правило, функции, для которых областью
определения
является промежуток. В этом случае любая
точка
обладает свойством: в любой окрестности
точки
имеются точки множества
,
отличные от точки
.
§ 11. Свойства непрерывных функций
1. Теорема (о
стабильности знака).
Пусть функция
определена в промежутке
и точка
.
Если
и
непрерывна в точке
,
то существует
такое, что для всех
из
,
удовлетворяющих неравенству
,
будет:
.
► Положим
(
по условию). Так как
непрерывна в точке
,
то любому
(в частности
)
отвечает число
такое, что как только
и
,
так сейчас же
.
В частности,
,
откуда
.
Таким образом,
получено: для
и удовлетворяющих неравенству
,
будет
. ◄
Замечание.
Справедливо также утверждение: если
и
непрерывна в точке
,
то существует
такое, что для всех
из
,
удовлетворяющих неравенству
,
будет:
.