§ 7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Пусть функция
определена в некоторой окрестности
точки а,
за исключением, быть может, самой точки
а
(в точке а
функция
может быть определена, а может быть и
не определена).
Определение.
Функция
называется бесконечно
малой при
,
если
.
Определение.
Функция
называется бесконечно
большой при
,
когда либо
,
либо
,
либо
.
При этом в случае, когда
,
говорят, что
положительная бесконечно большая; а в
случае, когда
,
говорят, что
отрицательная бесконечно большая при
.
Замечание.
Буква а
может обозначать и число, и один из
символов:
,
,
.
Определение.
Функция
называется ограниченной при
,
если существует постоянное число
такое, что
для всех значений х
в некоторой проколотой окрестности а.
При этом под окрестностью а,
когда а
обозначает один из символов
,
,
,
соответственно понимают:
– в первом случае
— множество всех х,
удовлетворяющих неравенству
, где
— постоянное положительное число;
– во втором —
множество всех х,
удовлетворяющих неравенству
;
– в третьем —
множество всех х,
удовлетворяющих неравенству
.
На рис. 3.5 приведены
примеры окрестностей
,
,
.
Рис. 3.5. Примеры окрестностей.
Отметим следующие
свойства бесконечно малых и бесконечно
больших функций при
,
вытекающие из соответствующих свойств
бесконечно малых и бесконечно больших
последовательностей.
1. Если одна из трех
функций
,
,
является бесконечно малой при
,
то и две другие функции также являются
бесконечно малыми при
.
2. Если одна из трех
функций
,
,
является бесконечно большой при
,
то и две другие функции также являются
бесконечно большими при
.
3. Если функция
— бесконечно малая при
,
а функция
— ограниченная при
то произведение
есть бесконечно малая функция при
.
4. Если функция
— бесконечно большая при
,
а функция
имеет отличный от нуля предел при
,
то произведение
есть бесконечно большая функция при
.
5. Если функция
— бесконечно малая при
и
в некоторой проколотой окрестности
точки
,
то
есть функция бесконечно большая при
.
6. Если функция
— бесконечно большая при
,
то
есть функция бесконечно малая при
.
Остановимся для примера на доказательстве одного из этих свойств, например, свойства 4 (все другие свойства доказываются совершенно аналогично).
Дано: 1)
— бесконечно большая функция при
,
т. е.
;
.
Требуется доказать,
что
— бесконечно большая функция при
.
► Составляем
последовательность
значений
,
любую, но такую, что
(предполагается, что
берутся из окрестности точки
и
).
По условию
.
Но тогда и
.
По условию
— бесконечно большая функция при
.
Но тогда и
— бесконечно большая последовательность
при
.
Следовательно,
— бесконечно большая последовательность,
как произведение бесконечно большой
последовательности и последовательности,
имеющей конечный предел, отличный от
нуля.
Так как
последовательность
— любая, сходящаяся к точке
,
то заключаем, что
.
А это означает, что функция
— бесконечно большая при
.
◄
§ 8. Свойства конечных пределов, связанные с арифметическими действиями над функциями
Сразу отметим, что
свойства конечных пределов, связанные
с арифметическими действиями над
переменными, пробегающими последовательности
значений, полностью переносятся на
случай, когда конечные пределы при
имеют функции. При этом предполагается,
что все рассматриваемые ниже функции
определены в некоторой окрестности
точки а,
за исключением, быть может, самой точки
а.
Упомянутую
окрестность точки а будем обозначать
через
.
А тогда
— проколотая окрестность точки а.
1. Если функция
при
имеет конечный предел А,
то разность
есть бесконечно малая функция при
.
► Возьмем
последовательность
значений
любую, но такую, что
и
.
По условию
.
Но тогда
.
Так как
последовательность
— любая, сходящаяся к точке
,
то заключаем, что
.
А последнее означает, что разность
есть бесконечно малая функция при
.
◄
2. Если разность
между функцией
и некотором постоянным числом А
при
есть бесконечно малая функция, то число
А
есть предел функции
при
.
► Возьмем
последовательность
значений х
любую, но такую, что
и
.
По условию
есть бесконечно малая функция при
,
т. е.
.
Но тогда
.
Так как
последовательность
,
сходящаяся к точке а,
то заключаем, что
.
◄
3. Пусть имеются
две функции
и
,
определенные в
всюду, за исключением, быть может, точки
а.
Пусть
,
,
где А
и В
— конечные числа. Тогда функции
также имеют конечный предел при
,
причем
.
► Возьмем
последовательность
значений х
любую, но такую, что
и
.
По условию
,
.
Но тогда
;
.
Следовательно,
(для последовательностей это свойство
нам известно).
Так как
последовательность
любая, сходящаяся к точке а,
то заключаем, что
.
◄
Заметим, что доказанное свойство распространяется на любое конечное число слагаемых.
4. Пусть имеются
две функции
и
,
определенные в
всюду, за исключением, быть может, точки
а.
Пусть
,
,
где А
и В
— конечные числа. Тогда функция
также имеет конечный предел при
,
причем
.
► Возьмем
последовательность
значений х
любую, но такую, что
и
.
По условию
,
.
Но тогда
,
.
Но для последовательностей, как мы
знаем, имеет место свойство
.
У нас последовательность
любая, сходящаяся к точке а.
Следовательно,
.
◄
Заметим, что доказанное свойство распространяется на любое конечное число сомножителей.
5. Пусть имеются
две функции ф(х) и у(х), определенные в
всюду, за исключением, быть может, точки
а.
Пусть
;
,
и
,
где
и
— конечные числа и
.
Тогда функция
также имеет конечный предел при
,
причем
.
► Возьмем
последовательность
значений х
любую, но такую, что
и
.
Имеем, по условию
=>
.
Имеем, далее,
=>
,
причем
и при всех
:
.
Но для таких последовательностей, как
мы знаем, справедливо соотношение
.
Так как
последовательность
любая, сходящаяся к точке а,
то, в соответствии с определением предела
функции "на языке последовательностей",
заключаем, что
.
◄